Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu hỏi của Nguyễn Thanh Hà - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath tham khảo
đồng dư nhé bạn.
Vì a là số nguyên dương nên \(4^a\equiv1\left(mod3\right)\)
\(\Rightarrow4^a+2\equiv0\left(mod3\right)\)
Mà \(4^a+2\equiv0\left(mod2\right)\)
Mặt khác \(\left(2,3\right)=1\)
\(\Rightarrow4^a+2⋮6\)
Khi đó \(4^a+a+b=\left(4^a+2\right)+\left(a+1\right)+\left(b+2007\right)-2010⋮6\)
Vậy với a,b là các số nguyên dương và a+1;b+2007 chia hết cho 6 thì \(4^a+a+b\)chia hết cho 6
Vì a + 1 và b + 2009 chia hết cho 6 nên a + b + 2010 chia hết cho 6.
Mà 2010 chia hết cho 6 nên a + b chia hết cho 6.
4a không chia hết cho 6 nên 4a + a + b không chia hết cho 6.
Bạn xem lại đề.
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
Ta có \(P=a^3+b^3+c^3\)
\(P=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-7b\right)+\left(2c^3-2024c\right)+a+7b+2024c-c^3\)
\(P=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-7\right)+2c\left(c^2-1012\right)\) ( do \(a+7b+2024c=c^3\))
Dễ thấy \(a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6.
Xét \(f\left(b\right)=b\left(b^2-7\right)\). Dễ thấy \(f\left(b\right)\) chẵn với mọi số nguyên \(b\). Nếu \(b⋮3\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Nếu \(b⋮̸3\) thì \(b^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow b^2-7⋮3\) \(\Rightarrow f\left(b\right)⋮3\). Vậy \(f\left(b\right)⋮3\) với mọi số nguyên \(b\). Vậy thì \(f\left(b\right)⋮6\)
Xét \(g\left(c\right)=2c\left(c^2-1012\right)\). Cũng dễ thấy \(g\left(c\right)\) chẵn. Nếu \(c⋮3\) thì \(g\left(c\right)⋮3\). Nếu \(c⋮̸3\) thì \(c^2\equiv1\left[3\right]\) \(\Rightarrow c^2-1012⋮3\) \(\Rightarrow g\left(c\right)⋮3\). Thế thì \(g\left(c\right)⋮6\) với mọi số nguyên \(c\)
Từ đó \(P=a\left(a^2-1\right)+f\left(b\right)+g\left(c\right)⋮6\), đpcm.
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
Theo đề bạn viết, mình hiểu là $1218^{a+1}\vdots 1218^b$
Mà điều này suy ra $a+1\geq b$ chứ không nhất thiết $a\vdots b$
\(a+1+b+2007⋮6\Rightarrow a+b+2008⋮6\)
vì 2008 chia cho 6 dư 4 nên a+b chia cho 6 phải dư 2
vì 4 chia 6 dư 4 \(\Rightarrow4^a\div6\)dư 4 \(\Rightarrow4^a+a+b\div6\)dư 4+2=6 \(\Rightarrow4^a+a+b⋮6\)