Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(B=\left(\dfrac{a-b}{a^2+ab}-\dfrac{a}{b^2+ab}\right):\left(\dfrac{b^3}{a^3-ab^2}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)
\(=\left(\dfrac{a-b}{a\left(a+b\right)}-\dfrac{a}{b\left(a+b\right)}\right):\left(\dfrac{b^3}{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}+\dfrac{1}{a+b}\right)\)
\(=\dfrac{b\left(a-b\right)-a^2}{ab\left(a+b\right)}:\dfrac{b^3+a\left(a-b\right)}{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\dfrac{ab-b^2-a^2}{ab\left(a+b\right)}\cdot\dfrac{a\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{a^2-ab+b^3}\)
\(=\dfrac{\left(a-b\right)\left(ab-b^2-a^2\right)}{b\left(a^2-ab+b^3\right)}\)
\(=\dfrac{-\left(a-b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)}{b\left(a^2-ab+b^3\right)}\)
Đề lỗi rồi chứ mình ko rút gọn đc nữa
\(ab+bc+ca=3abc\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y;z>0\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\)
\(P=\dfrac{x}{\left(3-x\right)^2}+\dfrac{y}{\left(3-y\right)^2}+\dfrac{z}{\left(3-z\right)^2}\)
Ta có đánh giá sau: \(\dfrac{t}{\left(3-t\right)^2}\ge\dfrac{2t-1}{4};\forall t\in\left(0;3\right)\)
Thực vậy, BĐT đã cho tương đương:
\(4t\ge\left(2t-1\right)\left(3-t\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-2t^3+13t^2-20t+9\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(9-2t\right)\left(t-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(t< 3\))
Áp dụng ta được:
\(P\ge\dfrac{2x-1}{4}+\dfrac{2y-1}{4}+\dfrac{2z-1}{4}=\dfrac{2\left(x+y+z\right)-3}{4}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)
Cách khác:
Sau khi đặt ẩn phụ, ta có:
\(P=\dfrac{x}{\left(3-x\right)^2}+\dfrac{y}{\left(3-y\right)^2}+\dfrac{z}{\left(3-z\right)^2}=\dfrac{x}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(z+x\right)^2}+\dfrac{z}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow3P=\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{x}{\left(y+z\right)^2}+\dfrac{y}{\left(z+x\right)^2}+\dfrac{z}{\left(x+y\right)^2}\right)\ge\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)^2\ge\dfrac{9}{4}\)
(BĐT Netsbitt)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{4}\)
1.
Nhân 2 vế của BĐT với \(\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
\(3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)\)
\(\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0\) *đúng*
☘ Áp dụng bất đửng thức AM - GM
\(\Rightarrow A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\dfrac{4}{a+b}\)
\(\ge\left(a+b+1\right)\times2ab+\dfrac{4}{a+b}\)
\(=2\left(a+b+1\right)+\dfrac{4}{a+b}\)
\(=\left(a+b+\dfrac{4}{a+b}\right)+\left(a+b\right)+2\)
\(\ge4+2\sqrt{ab}+2=8\)
⚠ Tự kết luận nha.
Đề bài sai, bạn có thể thử kiểm tra với \(a=1.0001\) và \(b=0.9999\)