Question

[Tài Nguyễn Tuấn]

Cho a_1,, a₂, a₃, ... , a₂₀₁₄ là các số tự nhiên thoả mãn \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+...+\frac{1}{a_{2014}}=1\).

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một số a_k là số chẵn thoả mãn \(k\in N;1\le k<2014\).

Answer 1

[Trần Thị Loan]

Giả sử tất cả các số a_k với 1 < k < 2014 đều là số lẻ 

Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái

+) Nếu a₂₀₁₄ lẻ => Tử số của 2014 phân số đã cho đều là số lẻ => Tổng của 2014 tử số đó là số chẵn

Vì các số a₁; ...; a₂₀₁₄ đều lẻ nên tích a₁.a₂...a₂₀₁₄ lẻ Mà tử số là số chẵn Nên phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử sai

+) Nếu a₂₀₁₄ chẵn => tử số các phân số thứ nhất đến phân số thứ 2013 đều là số chẵn ; tử số của phân số thứ 2014 là số lẻ Nên tổng các tử số là số lẻ

Vì a₂₀₁₄ chẵn nên mẫu số của phân số sau khi quy đồng là số chẵn

=> Tử số không chia hết cho mẫu số => Phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử là sai

Vậy luôn tồn tại 1 số a_k từ a₁ đến a₂₀₁₃ là số chẵn

Answer 2

[Nguyễn Bá Đề]

Giả sử tất cả các số a_k với 1 < k < 2014 đều là số lẻ 

Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái

+) Nếu a₂₀₁₄ lẻ => Tử số của 2014 phân số đã cho đều là số lẻ => Tổng của 2014 tử số đó là số chẵn

Vì các số a₁; ...; a₂₀₁₄ đều lẻ nên tích a₁.a₂...a₂₀₁₄ lẻ Mà tử số là số chẵn Nên phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử sai

+) Nếu a₂₀₁₄ chẵn => tử số các phân số thứ nhất đến phân số thứ 2013 đều là số chẵn ; tử số của phân số thứ 2014 là số lẻ Nên tổng các tử số là số lẻ

Vì a₂₀₁₄ chẵn nên mẫu số của phân số sau khi quy đồng là số chẵn

=> Tử số không chia hết cho mẫu số => Phân số đó không thể bằng 1 => điều giả sử là sai

Vậy luôn tồn tại 1 số a_k từ a₁ đến a₂₀₁₃ là số chẵn