Câu hỏi của Pham Trong Bach

Question

Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:

a

2

+

b

c

+

b

2

+

c

a

+

c...

Cao Minh Tâm · Accepted Answer

Từ điều kiện đề bài ta có

a

b

+

b

c

+

c

a

b

c

=
 
 3
 
 ⇔

1

a

+

1

b

+

1

c

=
 
 3
 
  
Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

a

2

+
 
 b
 
 c
 
 ≥
 
 2

a

2

.

b

c

=
 
 2
 
 a

b

c

⇒

a

2

+

b

c

≤

2

a

b

c

=

1

2

b

c

1

b

.

1

c

≤

1

2

1

b

+

1

c

⇒

a

2

+

b

c

≤

1

4

1

b

+

1

c

Tương tự ta có:

b

2

+

c

a

≤

1

4

1

c

+

1

a

;

c

2

+

a

b

≤

1

4

1

a

+

1

b

⇒

a

2

+

b

c

+

b

2

+

c

a

+

c

2

+

a

b

≤

1

2

1

a

+

1

b

+

1

c

=

3

2

.Câu trả lời: Từ điều kiện đề bài ta có

a

b

+

b

c

+

c

a

b

c

=
 
 3
 
 ⇔

1

a

+

1

b

+

1

c

=
 
 3
 
  
Áp dụng hai lần bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có:

a

2

+
 
 b
 
 c
 
 ≥
 
 2

a

2

.

b

c

=
 
 2
 
 a

b

c

⇒

a

2

+

b

c

≤

2

a

b

c

=

1

2

b

c

1

b

.

1

c

≤

1

2

1

b

+

1

c

⇒

a

2

+

b

c

≤

1

4

1

b

+

1

c

Tương tự ta có:

b

2

+

c

a

≤

1

4

1

c

+

1

a

;

c

2

+

a

b

≤

1

4

1

a

+

1

b

⇒

a

2

+

b

c

+

b

2

+

c

a

+

c

2

+

a

b

≤

1

2

1

a

+

1

b

+

1

c

=

3

2

.

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP