Question

[Nguyễn Đức Gia Minh]

Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng: 

a/b^2+1 + b/c^2+1 +c/d^2+1 +d/a^2+1 >=2

Answer 1

[Tran Le Khanh Linh]

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Áp dụng tương tự ta được

\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+d^2}\ge c-\frac{cd}{2};\frac{d}{1+a^2}\ge c-\frac{da}{2}\)

Tương tự ta cũng được

\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}=\frac{\left(a+c\right)\left(b+d\right)}{2}\le\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{8}=2\)

Do vậy ta được \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=d=1