Question

[Hoàng Quang Kỳ]

Cho \(a_1,a_2,a_3,...a_{2013}\)là số tự nhiên có tổng bằng \(2013^{2014}\)cmr\(a_1^3+a_2^3+...+a_{2013}^3⋮3\)

Answer 1

[do linh]

Đặt \(A=a_1^3+a^3_2+...+a^3_{2013}\)

vì \(2013⋮3\)nên \(2013^{2014}⋮3\)hay \(M=a_1+a_2+a_3+...+a_{2013}⋮3\)

Xét \(A-M=(a^3_1-a_1)+\left(a_2^{3_{ }}-a_2\right)+...+\left(a_{2013}^3-a_{2013}\right)\)

Dễ thấy \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\)là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

do đó \(a^3-1⋮3\)

\(\Rightarrow A-M⋮3\). Mà \(M⋮3\)\(\Rightarrow A⋮3\left(dpcm\right)\)