MA
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 7 2017
Lời giải:
Có \(M=\left ( \frac{1}{4}+\frac{3}{4^3}+...+\frac{2015}{4^{2015}} \right )-\left ( \frac{2}{4^2}+\frac{4}{4^4}+...+\frac{2016}{4^{2016}} \right )=A-B\)
Xét \(A= \frac{1}{4}+\frac{3}{4^3}+...+\frac{2015}{4^{2015}} \Rightarrow 16A=4+\frac{3}{4}+\frac{5}{4^3}+...+\frac{2015}{4^{2013}}\)
\(\Rightarrow 15A=4+2\underbrace{\left ( \frac{1}{4}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{4^{2013}} \right )}_{T}-\frac{2015}{4^{2015}}\)
Lại có \(16T=4+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{4^{2011}}\Rightarrow 15T=4-\frac{1}{4^{2013}}\)
Do đó \(A=\frac{1}{15}\left ( 4+\frac{8}{15}-\frac{2}{15.4^{2013}}-\frac{2015}{4^{2015}} \right )\)
Thực hiện tương tự, suy ra
\(B=\frac{1}{15}\left ( 2+\frac{2}{15}-\frac{2}{15.4^{2014}}-\frac{2016}{4^{2016}} \right )\)
\(\Rightarrow M=A-B=\frac{1}{15}\left ( \frac{12}{5}-\frac{90692}{15.4^{2014}} \right )<\frac{1}{15}.\frac{12}{5}=\frac{4}{25}\)
Ta có đpcm
19 tháng 11 2018
Bài 3: a) Xét A=(1+1/2+1/3+....+1/98).2.3.4.5.....98
=(1+1/2+1/3+....+1/98).(9.11).2.3.4.....98
=(1+1/2+1/3+....+1/98).99.2.3.4....98⋮99
(đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
1.
\(6=\frac{\sqrt{2}^2}{x}+\frac{\sqrt{3}^2}{y}\ge\frac{\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2}{x+y}=\frac{5+2\sqrt{6}}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{y}{\sqrt{3}}\\x+y=\frac{5+2\sqrt{6}}{6}\end{matrix}\right.\)
Bạn tự giải hệ tìm điểm rơi nếu thích, số xấu quá
2.
\(VT\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)
Đặt \(x+y+z=t\Rightarrow0< t\le1\)
\(VT\ge\sqrt{t^2+\frac{81}{t^2}}=\sqrt{t^2+\frac{1}{t^2}+\frac{80}{t^2}}\ge\sqrt{2\sqrt{\frac{t^2}{t^2}}+\frac{80}{1^2}}=\sqrt{82}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 2 2020
3.
\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{a^2}{b^5}+\frac{1}{a^3}+\frac{1}{a^3}\ge5\sqrt[5]{\frac{a^6}{b^{15}.a^6}}=\frac{5}{b^3}\)
Tương tự: \(\frac{3b^2}{c^5}+\frac{2}{b^3}\ge\frac{5}{a^3}\) ; \(\frac{3c^2}{d^5}+\frac{2}{c^3}\ge\frac{5}{d^3}\) ; \(\frac{3d^2}{a^5}+\frac{2}{d^2}\ge\frac{5}{a^3}\)
Cộng vế với vế và rút gọn ta được: \(3VT\ge3VP\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=1\)
4.
ĐKXĐ: \(-2\le x\le2\)
\(y^2=\left(x+\sqrt{4-x^2}\right)^2\le2\left(x^2+4-x^2\right)=8\)
\(\Rightarrow y\le2\sqrt{2}\Rightarrow y_{max}=2\sqrt{2}\) khi \(x=\sqrt{2}\)
Mặt khác do \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-2\\\sqrt{4-x^2}\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+\sqrt{4-x^2}\ge-2\)
\(y_{min}=-2\) khi \(x=-2\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 11 2019
\(\Leftrightarrow\sum\frac{2}{a^2+b^2+2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có: \(\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+2}\ge\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\)
Nên ta chỉ cần chứng minh \(\frac{\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}\right)^2}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)+6}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2+b^2+c^2+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}+\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+a^2\right)}+\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(c^2+a^2\right)}}{a^2+b^2+c^2+3}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\) (1)
Mà \(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge ac+b^2\)
\(\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge a^2+bc\) ; \(\sqrt{\left(b^2+c^2\right)\left(a^2+c^2\right)}\ge ab+c^2\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\sum\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+c^2\right)}\ge\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{9}{2}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng nên ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
NV
1
7 tháng 9 2017
1) ta đặc \(a^2+a+1=P=0\) \(\Rightarrow\left(a-1\right).p=0\) (vì \(P=0\))
ta có : \(P=a^2+a+1=0\Leftrightarrow a.P=a\left(a^2+a+1\right)=0\) (vì \(P=0\) )
\(\Leftrightarrow a.P=a^3+a^2+a=0\)
\(\Rightarrow a.P-P=\left(a-1\right).P=\left(a^3+a^2+a\right)-\left(a^2+a+1\right)\)
\(\left(a-1\right).P=a^3-1=0\Leftrightarrow a^3=1\) (vì \(\left(a-1\right).P=0\))
vậy \(a^3=1\left(đpcm\right)\)
2) ta có: \(a^2-2a+4=0\Leftrightarrow a^2-2a+1+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+3=0\)
ta có : \(\left(a-1\right)^1\ge0\) với mọi \(a\) \(\Rightarrow\left(a-1\right)^2+3\ge3>0\) với mọi \(a\)
vậy phương trình : \(a^2-2a+4=0\) vô nghiệm
vậy không có giá trị \(a\) thỏa mảng \(\Leftrightarrow a^3+\dfrac{1}{a^3}\) không tồn tại và không có giá trị
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 12 2020
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
H
25 tháng 5 2023
Ta chứng minh 2 bất đẳng thức phụ sau: với x, y, z dương thì:
\(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)
\(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)^3\left(2\right)\)
+ Chứng minh BĐT (1), sử dụng BĐT AM - GM:
\(x^4+x^4+y^4+z^4\ge4x^2yz\)
\(y^4+y^4+x^4+z^4\ge4xy^2z\)
\(z^4+z^4+x^4+y^4\ge4xyz^2\)
Cộng dồn lại ta có: \(x^4+y^4+z^4\ge xyz\left(x+y+z\right)\)
+ Chứng minh BĐT (2). Ta có:
\(\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=1+x+y+z+xy+yz+xyz\ge1+3\sqrt[3]{xyz}+3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}+xyz=\left(1+\sqrt[3]{xyz}\right)^3\)
Bây giờ ta quay lại chứng minh BĐT ở đề.
BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau:
\(\sqrt[4]{\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4}\ge\sqrt[4]{3}+\dfrac{\sqrt[4]{243}}{2+abc}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{2+abc}\right)^4\)
Sử dụng BĐT (1) ta có:
\(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{b}\right)^4+\left(1+\dfrac{1}{c}\right)^4\ge\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Sử dụng BĐT (2) và BĐT AM - GM ta có:
\(\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\left(3+\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\right)\)
\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\left(3+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\left(1+\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc.1.1}}\right)^4\ge3\left(1+\dfrac{3}{2+abc}\right)^4\)
Vậy BĐT đã được chứng minh. Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c.
ta thấy:
\(\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4}\)
\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2.3}\)
\(\dfrac{1}{4^2}< \dfrac{1}{3.4}\)
...
\(\dfrac{1}{2015^2}< \dfrac{1}{2014.2015}\)
=> A < \(\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2014.2015}\right)\)
=> A< \(\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2014}-\dfrac{1}{2015}\right)\)
<=> A< \(\dfrac{1}{4}+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2015}\right)\) = \(\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{2015}\) < \(\dfrac{3}{4}\).
=> đpcm.