K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

14 tháng 2 2018

bé hơn 1

15 tháng 2 2018

Áp dụng công thức : \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\) ( tự c/m bổ đề này nhé !! )

Ta có : \(\dfrac{1}{1+x^3+y^3}\le\dfrac{xyz}{xyz+x^2y+xy^2}=\dfrac{xyz}{xy\left(z+x+y\right)}=\dfrac{z}{x+y+z}\)(1)

C/m tương tự ta được :\(\dfrac{1}{1+y^3+z^3}\le\dfrac{x}{x+y+z}\)(2)

\(\dfrac{1}{1+z^3+x^3}\le\dfrac{y}{x+y+z}\)(3)

Cộng từng vế của (1) (2)(3) => ĐPCM.

1 tháng 12 2019

AD BĐT X^3+Y^3>=XY(X+Y) LÀ RA

1 tháng 12 2019

Có BĐT phụ:

\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)

Áp dụng

\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)

\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{1}{xyz}\)

27 tháng 8 2017

Từ \(xy+yz+xz=xyz\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)

Đặt \(\left(\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\) thì có

\(\frac{c^3}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{b^3}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{1}{16}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a+b+c=1\\a,b,c>0\end{cases}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{a^3}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{b+1}{64}+\frac{c+1}{64}\ge\frac{3a}{16}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế

\(VT+\frac{2\left(a+b+c+3\right)}{64}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{16}\Leftrightarrow VT\ge\frac{1}{16}\)

Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)

24 tháng 8 2017

a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)

b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)

c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c

a+b+c=x-y-z+z-x=o

đưa về như bài b

d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung

e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)

=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)

21 tháng 2 2017

x,y,z là số thực à khó đấy số dương thì mk còn làm đc 

chứ số thực mk chịu

21 tháng 2 2017

Biến đổi tương đương ta CM được BĐT sau: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}\)

CM tương tự với các phân thức còn lại

Cộng vế theo vế các BĐT đó ta được:

\(A\le\frac{x+y+z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{xyz}=1\)

Vậy Max A=1 <=> x=y=z=1

11 tháng 5 2018

áp dụng bđt cosi ta có:

\(x^3+y^3+1>=3xy\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}< =\frac{1}{3xy}\)

tương tự \(\frac{1}{y^3+z^3+1}< =\frac{1}{3yz};\frac{1}{z^3+x^3+1}< =\frac{1}{3zx}\)

dấu = xảy ra khi x=y=z=1(thỏa mãn vì khi đó xyz=1*1*1=1)

\(\Rightarrow A< =\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\)

\(\Rightarrow\)max của A là \(\frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz}+\frac{1}{3zx}\)khi x=y=z=1

khi đó A=\(\frac{1}{3\cdot1\cdot1}+\frac{1}{3\cdot1\cdot1}+\frac{1}{3\cdot1\cdot1}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\)

vậy max A là 1 khi x=y=z=1

11 tháng 5 2018

Với x, y>o ta có bđt \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Rightarrow a^3+b^3+1\ge ab\left(a+b\right)+1=ab\left(a+b\right)+abc=ab\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{a+b+c}\)

Cmtt ta được A\(\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)

Dấu = xra khi a=b=c và abc=1 =>a=b=c=1

NV
1 tháng 7 2019

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Ta có đánh giá sau: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Thật vậy, biến đổi tương đương:

\(a^3-a^2b-\left(ab^2-b^3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)

Áp dụng:

\(VT=\sum\frac{1}{a^3+b^3+1}=\sum\frac{abc}{a^3+b^3+abc}\le\sum\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\sum\frac{c}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=1\Rightarrow\left(x;y;z\right)=1\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 7 2019

Lời giải:

Do $xyz=1$ nên tồn tại $a,b,c>0$ sao cho \((x,y,z)=(\frac{a^2}{bc}, \frac{b^2}{ac}, \frac{c^2}{ab})\)

Khi đó:
\(\text{VT}=\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}=\frac{abc}{a^3+b^3+abc}+\frac{abc}{b^3+c^3+abc}+\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\)

Xét hiệu \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\geq ab(a+b+c)\Rightarrow \frac{abc}{a^3+b^3+abc}\leq \frac{abc}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{a+b+c}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(\frac{abc}{b^3+c^3+abc}\leq \frac{a}{a+b+c};\frac{abc}{c^3+a^3+abc}\leq \frac{b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được :

\(\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$ hay $x=y=z=1$

NV
6 tháng 9 2020

Đặt \(\left(x^2;y^2;z^2\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)

Đặt vế trái là P \(\Rightarrow P=\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\)

Ta có: \(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}+\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}+\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}\)

\(P\le\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}+\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}+\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}\)

\(P\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)

8 tháng 11 2019

Bài này đăng nhiều trên diễn đàn và em cũng làm nhiều rồi. Nhưng thôi kệ, cứ nhai lại vậy:v

Chú ý BĐT: \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (đúng với x, y là các số thực dương)

Do đó \(VT\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)

\(=\frac{1}{x+y+z}\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{1}{xyz}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

8 tháng 11 2019

Còn bác nào thích trâu bò thì chơi kiểu này:D

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{x^3+y^3}{x^3+y^3+1}+\frac{y^3+z^3}{y^3+z^3+1}+\frac{z^3+x^3}{z^3+x^3+1}\ge2\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(VT\ge\frac{\left(\Sigma_{cyc}\sqrt{x^3+y^3}\right)^2}{2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3}=\frac{2\left(x^3+y^3+z^3\right)+2\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x^3+y^3\right)\left(y^3+z^3\right)}}{2\left(x^3+y^3+z^3\right)+3}\)(*)

Ta sẽ chứng minh: \(\Sigma_{cyc}\sqrt{\left(x^3+y^3\right)\left(z^3+y^3\right)}\ge\left(x^3+y^3+z^3\right)+3\)(1)

Áp dụng BĐT Bunyakovski: \(VT\ge x^3+y^3+z^3+\sqrt{x^3y^3}+\sqrt{y^3z^3}+\sqrt{z^3x^3}\)

\(\ge x^3+y^3+z^3+3\sqrt[6]{\left(xyz\right)^6}=x^3+y^3+z^3+3\)

Vậy (1) đúng. Thay vào (*) ta có đpcm.

Is that true?

đặt \(P=\frac{1}{x^3\left(y+z\right)}+\frac{1}{y^3\left(z+x\right)}+\frac{1}{z^3\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}+\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}\)

áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:

\(\frac{yz}{x^2\left(y+z\right)}+\frac{y+z}{4yz}\ge\frac{1}{x};\frac{zx}{y^2\left(z+x\right)}+\frac{z+x}{4zx}\ge\frac{1}{y};\frac{xy}{z^2\left(x+y\right)}+\frac{x+y}{4xy}\ge\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow P+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\frac{1}{x}.\frac{1}{y}.\frac{1}{z}}=\frac{3}{2}\left(Q.E.D\right)\)

dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1