Question

[Nguyễn Thị Kim Anh]

cho 10 số tự nhiên bất kì: a1, a2, a3,..., a10.Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiép nhau trong dãy trên chia hết cho 10

Answer 1

[*•.¸♡ŴĨŃĎŶ ĐôŃĞ๖ۣۜ๖²⁴ʱ]

Đặt S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; S3 = a1 + a2 + a3 ; ... ; S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10

Xét 10 số S1 ; S2 ; S3 ; ... ; S10 ta có 2 trường hợp :

+) Nếu có một số Sk nào đó tận cùng bằng 0 (Sk = a1 + a2 + ... + ak, k từ 1 đến 10) ⇒ tổng của k số a1, a2 , ..., ak chia hết cho 10 (đpcm)

+) Nếu không có số nào trong số S1 ; S2 ; S3 ; ... ; S10 tận cùng bằng 0 ⇒ chắc chắn phải có ít nhất 2 số nào đó tận cùng giống nhau. Ta gọi 2 số đó là Sm và Sn (1 ≤ m < n>

Sm = a1 + a2 + a3 + ... + a(m)

Sn = a1 + a2 + a3 + ... +a(m) + a(m+1) + a(m+2) + ... + a(n)

⇒ Sn - Sm = a(m+1) + a(m+2) + ... +a(n) tận cùng bằng 0

⇒ Tổng của n - m số a(m+1) ; a(m+2) ; ... a(n) chia hết cho 10 (đpcm)

Vậy trong 10 số tự nhiên bất kì tồn tại 1 số hoặc tổng 1 số liên tiếp nhau trong dãy chia hết cho 10