Question

[ʚ๖ۣۜKɦáηɦ ๖ۣۜHυүềηɞ‏]

Câu 5 ( 0,5 đ )

Tìm tất cả các số nguyên dương n , sao cho tất cả các số n + 1 , n + 5 , n + 7 , n + 13 , n + 17 , n + 25 , n + 37 đều là các số nguyên tố ?

 

Answer 1

[Nguyễn Viết Ngọc]

$n$ không thể là số lẻ vì khi đó có ít nhất $6$ số chẵn $>2$ nên không thể là số nguyên tố. Dễ thấy với $n=2$ số $n+7=9$ là hợp số (tất nhiên không chỉ số đó nhưng ta không cần gì hơn), với $n=4$ số $n+5=9$ là hợp số. Với $n=6$ dễ thấy cả $7$ số đều là số nguyên tố.
Dễ thấy là trong $7$ số đã cho có $1$ số chia hết cho $7$. Thật thế $7$ số đã cho khi chia cho $7$ có cùng số dư với $7$ số $n+1,n+5,n+7,n+6,n+3,n+4,n+2$ mà trong $7$ số tự nhiên liên tiếp có $1$ số chia hết cho $7$.
$\Rightarrow$ Với $n\ge 8$ trong $7$ số đã cho có $1$ số chia hết cho $7$ và $>7$ nên là hợp số.
$\Rightarrow$ Số duy nhất thỏa mãn là $n=6$ 

Xem thêm tại đây nhé bạn : Tìm số n nguyên dương sao cho tất cả các số n+1;n+5;n+7;n+13;n+17;n+25;n+37 đều là số nguyên tố - Số học - Diễn đàn Toán học

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Ta thấy: n phải là số chẵn vì trong dãy có phần dư của n là số lẻ (nếu là số lẻ thì các số trên chẵn ra hợp số)

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên n = 2

Thay n = 2, ta có: n + 7 = 2 + 7 = 9 (loại vì là hợp số)

+) Với n = 4

Ta có: n + 5 = 4 + 5 = 9 (loại vì là hợp số)

+) Với n = 6

Với n = 6 thì tất cả các số trên đều là số nguyên tố (tm)

Theo nguyên lí Dirichle thì trong một phép chia cho 7 thì có nhiều nhất 6 số dư

Vậy ta dễ chứng minh để loại hết các số lớn hơn 6

Vậy n = 6 là nghiệm duy nhất cần tìm.