Question

[tibarca41]

Bài 1: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1

Cmr: \(\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)lớn hơn hoặc bằng \(\frac{3}{4}\)

Bài 2: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn b² + c² nhỏ hơn hoặc bằng a². Tìm GTNN của biểu thức:

           P = \(\frac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)

Answer 1

[Nguyễn Thiều Công Thành]

đặt \(\sqrt{\frac{ab}{c}}=x;\sqrt{\frac{bc}{a}}=y;\sqrt{\frac{ca}{b}}=z\Rightarrow xy+yz+zx=1\)

\(P=\frac{ab}{ab+c}+\frac{bc}{bc+a}+\frac{ca}{ca+b}\)

\(=\frac{\frac{ab}{c}}{\frac{ab}{c}+1}+\frac{\frac{bc}{a}}{\frac{bc}{a}+1}+\frac{\frac{ca}{b}}{\frac{ca}{b}+1}=\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{y^2}{y^2+1}+\frac{z^2}{z^2+1}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}=\frac{3}{4}\left(Q.E.D\right)\)