Question

[_little rays of sunshine_]

Bài 1 : 

a) Cho 3 số hữu tỉ a,b,c thoả mãn : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\). Chứng minh rằng : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\) là số hữu tỉ.

b) Cho 3 số x,y,z đôi một khác nhau . Chứng minh rằng : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{\left(y-z\right)^2}+\dfrac{1}{\left(z-x\right)^2}}\) là một số hữu tỉ.

Answer 1

[Nguyễn thành Đạt]

a) Từ giả thiết : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2ab\text{=}2bc+2ca\)

\(\Rightarrow2ab-2bc-2ca\text{=}0\)

Ta xét : \(\left(a+b-c\right)^2\text{=}a^2+b^2+c^2+2ab-2bc-2ca\)

\(\text{=}a^2+b^2+c^2\)

Do đó : \(A\text{=}\sqrt{a^2+b^2+c^2}\text{=}\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(\Rightarrow A\text{=}a+b-c\)

Vì a;b;c là các số hữu tỉ suy ra : đpcm

b) Đặt : \(a\text{=}\dfrac{1}{x-y};b\text{=}\dfrac{1}{y-x};c\text{=}\dfrac{1}{z-x}\)

Do đó : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\text{=}\dfrac{1}{c}\)

Ta có : \(B\text{=}\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\)

Từ đây ta thấy giống phần a nên :

\(B\text{=}a+b-c\)

\(B\text{=}\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{y-z}-\dfrac{1}{z-x}\)

Suy ra : đpcm.

Mình bổ sung đề phần b cần phải có điều kiện của x;y;z nha bạn.