Question

[Nguyễn Thị Việt Hà]

 A=1/5+1/45+1/117                   

 a) Tìm số hạng thứ 100 của A               

b)Tính tổng 100 số hạn đó                   

c)CM: tổng đó < 1/4

Answer 1

[Akai Haruma]

Số thứ nhất: $\frac{1}{5}=\frac{1}{1\times 5}$

Số thứ hai: $\frac{1}{45}=\frac{1}{5\times 9}$

Số thứ ba: $\frac{1}{117}=\frac{1}{9\times 13}$

Như vậy mỗi số hạng trong tổng A đều có dạng $\frac{1}{x\times (x+4)}$

Số hạng thứ 100 sẽ có $x$ thỏa mãn:

$(x-1):4+1=100$

$(x-1):4=99$

$x=99\times 4+1=397$

Vậy số hạng thứ 100 là: $\frac{1}{397\times 401}$
b.

Tổng 100 số hạng:

$A=\frac{1}{1\times 5}+\frac{1}{5\times 9}+\frac{1}{9\times 13}+....+\frac{1}{397\times 401}$

$4\times A=\frac{5-1}{1\times 5}+\frac{9-5}{5\times 9}+\frac{13-9}{9\times 13}+....+\frac{401-397}{397\times 401}$

$4\times A=1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+....+\frac{1}{397}-\frac{1}{401}$

$4\times A=1-\frac{1}{401}$

$A=\frac{1}{4}-\frac{1}{4\times 401}$

$\Rightarrow A< \frac{1}{4}$