Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 1:
\(P=(x+1)\left(1+\frac{1}{y}\right)+(y+1)\left(1+\frac{1}{x}\right)\)
\(=2+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2\)
\(x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
\(y+\frac{1}{2y}\geq 2\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}\)
Áp dụng BĐT SVac-xơ kết hợp với Cô-si:
\(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\geq \frac{4}{2x+2y}=\frac{2}{x+y}\geq \frac{2}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
Cộng các BĐT trên :
\(\Rightarrow P\geq 2+2+\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{2}=4+3\sqrt{2}\)
Vậy \(P_{\min}=4+3\sqrt{2}\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Svac-xơ:
\(\frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+a+2c}\geq \frac{4}{2a+4b+2c}=\frac{2}{a+2b+c}\)
\(\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{b+c+2a}\geq \frac{4}{2b+4c+2a}=\frac{2}{b+2c+a}\)
\(\frac{1}{c+3a}+\frac{1}{c+a+2b}\geq \frac{4}{2c+4a+2b}=\frac{2}{c+2a+b}\)
Cộng theo vế và rút gọn :
\(\Rightarrow \frac{1}{a+3b}+\frac{1}{b+3c}+\frac{1}{c+3a}\geq \frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{2b+c+a}+\frac{1}{2c+a+b}\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$
a: d//d1
=>m-2=-m và m+7<>2m-3
=>m=1
b: d trùng với d2
=>m-2=-m^2 và m+7=-2m+1
=>m=-2 và m^2+m-2=0
=>m=-2
d: d vuông góc d4
=>-1/6(m+3)(m-2)=-1
=>(m+3)(m-2)=6
=>m^2+m-6-6=0
=>m^2+m-12=0
=>m=-4 hoặc m=3
c: Thay y=1/3 vào d3, ta được:
-2/3x+5/3=1/3
=>-2/3x=-4/3
=>x=2
Thay x=2 và y=1/3 vào (d), ta được:
2(m-2)+m+7=1/3
=>3m+3=1/3
=>3m=-8/3
=>m=-8/9
1/ ĐKXĐ: \(x\ge0,x\ne1\)
\(E=\left(\dfrac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+\sqrt{x}-x-1}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right)-\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right)\)
= \(\left[\dfrac{2\sqrt{x}}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}-1}\right]-\left(1+\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}\right)\)
= \(\dfrac{2\sqrt{x}-x-1}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}\)
= \(\dfrac{-\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(x+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\dfrac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}\)
= \(\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+1}-\dfrac{x+1+\sqrt{x}}{x+1}\)
= \(\dfrac{1-\sqrt{x}-x-1-\sqrt{x}}{x+1}=\dfrac{-x-2\sqrt{x}}{x+1}\)
b/ Với \(x\ge0,x\ne1\)
Để \(E=-\dfrac{1}{7}\Leftrightarrow\dfrac{-x-2\sqrt{x}}{x+1}=-\dfrac{1}{7}\)
\(\Leftrightarrow-7x-14\sqrt{x}+x+1=0\)
\(\Leftrightarrow-6x-14\sqrt{x}+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(6\sqrt{x}+7-\sqrt{55}\right)\left(6\sqrt{x}+7+\sqrt{55}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}6\sqrt{x}+7-\sqrt{55}=0\\6\sqrt{x}+7+\sqrt{55}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=\dfrac{-7+\sqrt{55}}{6}\\\sqrt{x}=\dfrac{-7-\sqrt{55}}{6}\left(ktm\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{52-7\sqrt{55}}{18}\)
Vậy để \(E=-\dfrac{1}{7}\) thì \(x=\dfrac{52-7\sqrt{55}}{18}\)
a, \(\dfrac{b}{\left(a-4\right)^2}.\sqrt{\dfrac{\left(a-4\right)^4}{b^2}}=\dfrac{b}{\left(a-4\right)^2}.\dfrac{\left(a-4\right)^2}{b}=1\)
b, Đặt \(B=\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
\(\sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b\)
Ta có: \(B=\dfrac{a^3-b^3}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)}{a-b}=a^2+ab+b^2\)
\(\Rightarrow B=x+\sqrt{xy}+y\)
Vậy...
c, \(\dfrac{a}{\left(b-2\right)^2}.\sqrt{\dfrac{\left(b-2\right)^4}{a^2}}=\dfrac{a}{\left(b-2\right)^2}.\dfrac{\left(b-2\right)^2}{a}=1\)
d, \(2x+\dfrac{\sqrt{1-6x+9x^2}}{3x-1}=2x+\dfrac{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}{3x-1}=2x+1\)
a:b(a−4)2.√(a−4)4b2(b>0;a≠4)b(a−4)2.(a−4)4b2(b>0;a≠4)
= \(\dfrac{b}{\left(a-4\right)}.\dfrac{\sqrt{\left[\left(a-4\right)^2\right]^2}}{\sqrt{b^2}}\)
=\(\dfrac{b}{\left(a-4\right)^2}.\dfrac{\left(a-4\right)^2}{b}\)
= 1 ( nhân tử với tử mẫu với mẫu rồi rút gọn)
b:x√x−y√y√x−√y(x≥0;y≥0;x≠0)xx−yyx−y(x≥0;y≥0;x≠0)
=\(\dfrac{\sqrt{x^3}-\sqrt{y^3}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
=\(\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^3-\left(\sqrt{y}\right)^3}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)
=\(\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right).\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\)(áp dụng hằng đẳng thức )
= (x+\(\sqrt{xy}\)+y)
c:a(b−2)2.√(b−2)4a2(a>0;b≠2)a(b−2)2.(b−2)4a2(a>0;b≠2)
Tương tự câu a
d:x(y−3)2.√(y−3)2x2(x>0;y≠3)x(y−3)2.(y−3)2x2(x>0;y≠3)
tương tự câu a
e:2x +√1−6x+9x23x−1
= \(2x+\dfrac{\sqrt{\left(3x\right)^2-6x+1}}{3x-1}\)
= 2x+\(\dfrac{\sqrt{\left(3x-1\right)^2}}{3x-1}\)(hằng đẳng thức)
=2x+\(\dfrac{3x-1}{3x-1}\)
=2x+1
Bài Bất đẳng thức phân thức thứ 2 của tổng P ở phần mẫu sai đề
Câu 1:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)x-3y=-5\\x+my=3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3-my\right)-3y=-5\\x=3-my\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3m-m^2y-6+2my-3y=-5\\x=3-my\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2-2m+3\right)y=3m-1\left(1\right)\\x=3-my\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(m^2-2m+3=\left(m-1\right)^2+2>0\forall m\) nên \(pt(1)\) có nghiệm duy nhất \(\forall m\)
Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\forall m\)
Từ \((1)\) ta có \(y=\dfrac{3m-1}{m^2-2m+3}\) thay vào \((2)\) ta có \(x=\dfrac{9-5m}{m^2-2m+3}\)
Câu 2:
Thay \(m=3\) ta có \((d)\):\(y=8x-7\)
Phương trình hoành độ giao điểm \((P)\) và \((d)\) khi \(m=3\) là
\(x^2=8x-7\Leftrightarrow x^2-8x+7=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=1\\x_2=7\end{matrix}\right.\)
Tọa độ giao điểm \((P)\) và \((d)\) là \((1;1);(7;49)\)
b)Xét phương trình hoành độ giao điểm \((P)\) và \((d)\):
\(x^2-2(m+1)x+3m-2=0(1)\)
\(\Delta=m^2+2m+1-3m+2=m^2-m+3=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}>0\forall m\)
Nên pt \((1)\) có hai nghiệm phân biệt \(\forall m\)
Suy ra \((P)\) và \((d)\) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A,B\) với mọi \(m\)
c)Ta có \(x_1;x_2\) là nghiệm của pt \((1)\) do \(\Delta>0\forall m\) theo định lý Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=3m-2\end{matrix}\right.\)
\(x^2_1+x_2^2=20\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=20\)
Thay vào hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left(2m+2\right)^2-2\left(3m-2\right)=20\Leftrightarrow2m^2+m-6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(1,\)
\(p_{\Delta DEF}=\dfrac{12+20+16}{2}=24\left(cm\right)\)
\(\Rightarrow S_{\Delta DEF}=\sqrt{24\left(24-16\right)\left(24-20\right)\left(24-12\right)}=96\left(cm^2\right)\)
\(S=\dfrac{EF.DF.DE}{4R}\Leftrightarrow R=\dfrac{EF.DF.DE}{4S}=\dfrac{12.20.16}{4.96}=10\left(cm\right)\)
\(2,\)
Gọi tọa độ \(\left(d\right)\) giao với trục tung là \(\left(0;y\right)\)
Thay điểm \(\left(0;y\right)\) vào \(\left(d\right):y=3x-\dfrac{1}{2}\)
\(y=3.0-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow\) Chọn đáp án \(A\)