Question

[Trân Nari]

1.Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:

\(\frac{4a^2+\left(b-c\right)^2}{2a^2+b^2+c^2}+\frac{4b^2+\left(c-a\right)^2}{2b^2+c^2+a^2}+\frac{4c^2+\left(a-b\right)^2}{2c^2+a^2^{ }+b^2}\ge3\)2.

Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn 2 (y2 + yz + z2) + 3x2= 36. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x + y + z

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx+2x^2-2x\left(y+z\right)+y^2+z^2=36\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+2x^2-2x\left(y+z\right)+y^2+z^2=36\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+2x^2-2x\left(y+z\right)+\frac{1}{2}\left(y+z\right)^2\le36\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left[4x^2-4x\left(y+z\right)+\left(y+z\right)^2\right]\le36\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(2x-y-z\right)^2\le36\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le36-\frac{1}{2}\left(2x-y-z\right)^2\le36\)

\(\Rightarrow-6\le x+y+z\le6\)

\(A_{min}=-6\) khi \(x=y=z=-2\)

\(A_{max}=6\) khi \(x=y=z=2\)