Question

[Phạm Mỹ Duyên]

1 . Cho nửa đường tròn đường kính AB và một điểm M bất kì trên nửa đường tròn đó (M khác A, B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn người ta vẽ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt tia Ax tại I; tia phân giác của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.

a) Chứng minh rằng: IA^2 = IM.IB

b) Chứng minh tam giác BAF cân

c) Chứng minh tứ giác AKFH là hình thoi 

2 . Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 46ⁿ +296.13ⁿ chi hết cho 1947

3 . Cho 3 số dương x , y , z thỏa mãn x+y+z = 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(B=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Bảo Nhi]

Bài 3 : 

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)

Ta có : 

\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

Tương tự ta có:

\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)

\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)

\(+\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)