a) Ta có \(VT=cot^2\alpha+1=\dfrac{cos^2\alpha}{sin^2\alpha}+1\) \(=\dfrac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{sin^2\alpha}\) \(=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\) \(=VP\), vậy đẳng thức được chứng minh.

 b) \(cot\alpha=3\Rightarrow tan\alpha=\dfrac{1}{3}\) (do \(tan\alpha.cot\alpha=1\))

 Có \(\dfrac{1}{sin^2\alpha}=1+cot^2\alpha=1+3^2=10\) \(\Rightarrow sin^2\alpha=\dfrac{1}{10}\) \(\Rightarrow sin\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

 Lại có \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\) \(\Rightarrow cos\alpha=\sqrt{1-sin^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^2}=\dfrac{3}{\sqrt{10}}\) 

a) cot²∝ + 1

= cos²∝/sin²∝ + 1

= (cos²∝ + sin²∝)/sin²∝

= 1/sin²∝

b) cot∝ = 3

⇒ cot²∝ + 1 = 10

⇒ 1/sin²∝ = 10

⇒ sin²∝ = 1/10

⇒ sin∝ = √10/10 (do nhọn)

Lại có:

sin²∝ + cos²∝ = 1

⇒ cos²∝ = 1 - sin²∝

= 1 - 1/10

= 9/10

⇒ cos∝ = 3√10/10

cot∝ = 3

⇒ tan∝ = 1/3

a: \(1+cot^2\alpha=\dfrac{1}{sin^2\alpha}\)

=>\(cot^2\alpha=1:\dfrac{1}{9}-1=9-1=8\)

=>\(cot\alpha=2\sqrt{2}\)

=>\(tan\alpha=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\)

b: \(1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\)

=>\(1+tan^2\alpha=1:\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{5}{4}\)

=>\(tan^2\alpha=\dfrac{1}{4}\)

=>\(tan\alpha=\dfrac{1}{2}\)

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề ngày tháng, cấu trúc thi chuyên, thi học sinh giỏi các cấp. Hôm nay Olm sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng này như sau:

                Giải:

Từ ngày 3 /2/1991 đến ngày 3/2/1930 có thời gian là:

           1991 - 1930 = 61 (năm)

Các năm nhuận từ năm 1930 đến năm 1991 lần lượt là các năm:

    `1932; 1934;...;1988

số năm nhuận từ năm 1930 đến năm 1991 là:

   (1988 - 1932) : 4 + 1 = 15 (năm)

Số năm không nhuận từ năm 1930 đến năm 1991 là:

         61 - 15 = 46 (năm)

Từ ngày 3/2/1930 đến ngày 3/2/1991 có số ngày là:

      365 x 46 + 366 x 15 = 22280 (ngày)

Vì 22280 : 7 = 3128 (dư 6)

Ngày 3/2/1930 là  ngày thứ:

  8 - 6 = 2 

Đáp số: thứ hai

Câu 3.2

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta=(2m+3)^2+4(2m+4)>0$

$\Leftrightarrow (2m+3)^2+4(2m+3)+4>0$

$\Leftrightarrow (2m+3+2)^2>0\Leftrightarrow (2m+5)^2>0$

$\Leftrightarrow 2m+5\neq 0$

$\Leftrightarrow m\neq \frac{-5}{2}$

Áp dụng định lý Viet, với $x_1,x_2$ là nghiệm của pt (1) thì:

$x_1+x_2=2m+3$

$x_1x_2=-2m-4$

$\Rightarrow x_1+x_2+x_1x_2+1=0$

$\Leftrightarrow (x_1+1)(x_2+1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=-1$ hoặc $x_2=-1$

Nếu $x_1=-1$ thì $x_2=2m+4$. Nếu $x_2=-1$ thì $x_1=2m+4$

Không mất tổng quát giả sử $x_1=-1; x_2=2m+4$

Khi đó:

$|x_1|+|x_2|=5$

$\Leftrightarrow |-1|+|2m+4|=5$

$\Leftrightarrow |2m+4|=4$

$\Leftrightarrow 2m+4=\pm 4$

$\Leftrightarrow m=0$ hoặc $m=-4$

Do $m> \frac{-5}{2}$ nên $m=0$

Lời giải:

Với $x\in\mathbb{Z}^+$, để $N$ nguyên thì:

$\sqrt{x}-5$ là ước của $9$

$\Rightarrow \sqrt{x}-5\in \left\{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 9\right\}$

$\Rightarrow \sqrt{x}\in \left\{4; 6; 7; 3; 2; 8; 14; -4\right\}$

Do $\sqrt{x}\geq 0$ nên $\sqrt{x}\in \left\{4; 6; 7; 3; 2; 8; 14\right\}$

$\Rightarrow x\in \left\{16; 36; 49; 9; 4; 64; 196\right\}$

Lời giải:
a.

Khi $m=1$ thì PT trở thành:
$x^2-4x+4=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x-2=0\Leftrightarrow x=2$
b.

Để PT có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'=(m+1)^2-(m^2-2m+5)>0$

$\Leftrightarrow m>1$
Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=2(m+1)$

$x_1x_2=m^2-2m+5$

Với $m>1$ thì $x_1+x_2=2(m+1)>0; x_1x_2=m^2-2m+5>0$

$\Rightarrow x_1>0; x_2>0$
Khi đó:

$\sqrt{4x_1^2+4mx_1+m^2}+\sqrt{x_2^2+4mx_2+4m^2}=7m+2$

$\Leftrightarrow \sqrt{(2x_1+m)^2}+\sqrt{(x_2+2m)^2}=7m+2$

$\Leftrightarrow |2x_1+m|+|x_2+2m|=7m+2$

$\Leftrightarrow 2x_1+m+x_2+2m=7m+2$

$\Leftrightarrow x_1+(x_1+x_2)=4m+2$

$\Leftrightarrow x_1+2m+2=4m+2$

$\Leftrightarrow x_1=2m$

$x_2=2(m+1)-x_1=2$
$m^2-2m+5=x_1x_2=2m.2=4m$

$\Leftrightarrow m^2-6m+5=0$

$\Leftrightarrow (m-1)(m-5)=0$

Do $m>1$ nên $m=5$

Lời giải:
a.

Khi $m=1$ thì PT trở thành:
$x^2-4x+4=0$

$\iff (x-2{)}^2=0\iff x-2=0\iff x=2$
b.

Để PT có 2 nghiệm pb $x^1,x^2$ thì:

${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2-2m+5)>0$

$\iff m>1$
Áp dụng định lý Viet:

$x^1+x^2=2(m+1)$

$x^1{x}^2=m^2-2m+5$

Với $m>1$ thì $x^1+x^2=2(m+1)>0;x^1{x}^2=m^2-2m+5>0$

$\Rightarrow x^1>0;x^2>0$
Khi đó:

$\sqrt{4x^1+4m{x}^1+m^2}+\sqrt{x^2+4m{x}^2+4m^2}=7m+2$

$\iff \sqrt{(2x^1+m{)}^2}+\sqrt{(x^2+2m{)}^2}=7m+2$

$\iff |2x^1+m|+|x^2+2m|=7m+2$

$\iff 2x^1+m+x^2+2m=7m+2$

$\iff x^1+(x^1+x^2)=4m+2$

$\iff x^1+2m+2=4m+2$

$\iff x^1=2m$

$x^2=2(m+1)-x^1=2$
$m^2-2m+5=x^1{x}^2=2m.2=4m$

$\iff m^2-6m+5=0$

$\iff (m-1)(m-5)=0$

Do $m>1$ nên $m=5$

Câu 3:

Ta thấy $\Delta'=(m^2+2)^2+2m^2+5>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên PT luôn có 2 nghiệm pb với mọi $m$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=-2(m^2+2)$

$x_1x_2=-2m^2-5$
$\Rightarrow x_1x_2+1=x_1+x_2$

$\Leftrightarrow (x_1-1)(x_2-1)=0$

$\Leftrightarrow x_1=1$ hoặc $x_2=1$

Nếu $x_2=1$ thì $x_1=(-2m^2-5):x_2=-2m^2-5$

Mà $x_1>x_2$ nên $-2m^2-5>1$ (vô lý) 

Do đó $x_1=1$. Khi đó $x_2=-2m^2-5$

Ta có:

$x_1x_2+8x_1^3+5=0$

$\Leftrightarrow -2m^2-5+8+5=0$

$\Leftrightarrow 8=2m^2$

$\Leftrightarrow m^2=4\Leftrightarrow m=\pm 2$

a) Tầng 1: 280 quyển

b) Tầng 2: 240 quyển; Tầng 3: 180 quyển

Giải thích các bước giải:

a) Số sách ở tầng 1 là

              700 x 40 : 100 = 280 (quyển)

b) Tổng số sách ở tầng 2 và tầng 3 là

              700 – 280 = 420 (quyển)

Sau khi chuyển thì tổng số sách ở hai tầng đó vẫn không thay đổi.

Số sách ở tầng 3 sau khi chuyển là

              420 : (2 + 5) x 2 = 120 (quyển)

Số sách ở tầng 3 lúc đầu là

             120 x 2 = 240 (quyển)

Số sách ở tầng 2 lúc đầu là

             420 – 240 = 180 (quyển)

                      Đáp số: a) Tầng 1: 280 quyển

                                   b) Tầng 2: 240 quyển; Tầng 3: 180 quyển

) Tầng 1: 280 quyển

b) Tầng 2: 240 quyển; Tầng 3: 180 quyển

Giải thích các bước giải:

a) Số sách ở tầng 1 là

              700 x 40 : 100 = 280 (quyển)

b) Tổng số sách ở tầng 2 và tầng 3 là

              700 – 280 = 420 (quyển)

Sau khi chuyển thì tổng số sách ở hai tầng đó vẫn không thay đổi.

Số sách ở tầng 3 sau khi chuyển là

              420 : (2 + 5) x 2 = 120 (quyển)

Số sách ở tầng 3 lúc đầu là

             120 x 2 = 240 (quyển)

Số sách ở tầng 2 lúc đầu là

             420 – 240 = 180 (quyển)

                      Đáp số: a) Tầng 1: 280 quyển

                                   b) Tầng 2: 240 quyển; Tầng 3: 180 quyển