a) Do \(MH\perp AC\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MHA}=90^0\)

Do \(MK\perp AB\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MKA}=90^0\)

Do \(\Delta ABC\) vuông tại A

\(\Rightarrow\widehat{CAB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{HAK}=90^0\)

Tứ giác \(AKMH\) có:

\(\widehat{MHA}=\widehat{HAK}=\widehat{MKA}=90^0\)

\(\Rightarrow AKMH\) là hình chữ nhật

b) Do \(MK\perp AB\left(cmt\right)\)

Mà \(AB\perp AC\) (\(\Delta ABC\) vuông tại A)

\(\Rightarrow MK\) // \(AC\)

Mà \(M\) là trung điểm của BC

\(\Rightarrow K\) là trung điểm của AB

Tứ giác AMBI có:

K là trung điểm của AB (cmt)

K là trung điểm của MI (gt)

\(\Rightarrow AMBI\) là hình bình hành

\(\Rightarrow AI=BM\)

Mà \(BM=CM\) (do M là trung điểm của BC)

\(\Rightarrow AI=CM\)

Do \(AMBI\) là hình bình hành (cmt)

\(\Rightarrow AI\) // \(BM\)

\(\Rightarrow AI\) // \(CM\)

Tứ giác \(ACMI\) có:

\(AI\) // \(CM\left(cmt\right)\)

\(AI=CM\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow ACMI\) là hình bình hành

Mà E là trung điểm của AM

\(\Rightarrow\) E là trung điểm của CI

Hay C, E, I thẳng hàng

c) Để \(AKMH\) là hình vuông thì:

\(MH=MK\) (1)

Do \(MH\perp AC\) (cmt)

\(AC\perp AB\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow MH\) // \(AB\)

Mà M là trung điểm của BC

\(\Rightarrow H\) là trung điểm của AC

\(\Rightarrow MH\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow MH=\dfrac{AB}{2}\) (2)

Lại có:

M là trung điểm của BC (cmt)

K là trung điểm của AB (cmt)

\(\Rightarrow MK\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow MK=\dfrac{AC}{2}\) (3)

Từ (1), (2), (3) \(\Rightarrow AB=AC\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

Vậy để AKMH là hình vuông thì \(\Delta ABC\) vuông cân tại A

giúp em với ạ em cảm ơn

 Bài này có thể giải bằng cách dùng định lý Menelaus khá ngắn như sau:

 Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC với cát tuyến DMK, ta có: \(\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{KC}{KA}.\dfrac{DA}{AB}=1\) \(\Rightarrow1.\dfrac{KC}{KA}.2=1\) \(\Leftrightarrow\dfrac{KC}{KA}=\dfrac{1}{2}\) \(\Leftrightarrow KA=2KC\) (đpcm)

 Nhưng nếu bạn chưa được dùng định lý Menelaus thì sẽ phải làm như sau:

 Kẻ BP//AC \(\left(P\in DK\right)\). Khi đó theo định lý Thales, \(\dfrac{MB}{MC}=\dfrac{BP}{CK}\) và \(\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{AK}{BP}\). Do đó:

 \(\dfrac{MB}{MC}.\dfrac{KC}{KA}.\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{BP}{CK}.\dfrac{CK}{AK}.\dfrac{AK}{BP}=1\), và tới đây ta lại quay về tính như đã trình bày ở trên.

 Bạn tham khảo.

ĐKXĐ: \(x\ne\pm2\)

\(\dfrac{2x^2-x^3}{x^2-4}=\dfrac{x^2\left(2-x\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{-x^2\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{-x^2}{x+2}\)

\(---\)

ĐKXĐ: \(x\ne-1\)

\(\dfrac{x+1}{x^3+1}=\dfrac{x+1}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{1}{x^2-x+1}\)

a) Do M là trung điểm của CD (gt)

⇒ CM = DM = CD/2

Do I là trung điểm AE (gt)

H là trung điểm BE (gt)

⇒ HI là đường trung bình của ∆ABE

HI // AB và HI = AB/2 (2)

Do ABCD là hình chữ nhật (gt)

⇒ AB = CD (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ HI = CM

Do ABCD là hình chữ nhật (gt)

⇒ AB // CD (4)

Từ (2) và (4) ⇒ HI // CD

⇒ HI // CM

Tứ giác CMIH có:

HI // CM (cmt)

HI = CM (cmt)

⇒ CMIH là hình bình hành

⇒ HC // MI

b) Do HC // MI (cmt)

⇒ ∠MIC = ∠ICH (so le trong)

Do HI // MC (cmt)

⇒ ∠HIC = ∠ICM (so le trong)

Do I và H lần lượt là trung điểm của AE và BE (gt)

⇒ AE/BE = AI/BH

Xét hai tam giác vuông: ∆AEB và ∆BEC có:

∠BAE = ∠CBE (cùng phụ ACB)

⇒ ∆AEB ∆BEC (g-g)

⇒ AE/BE = AB/BC

Mà AE/BE = AI/BH (cmt)

⇒ AI/BH = AB/AC

Xét ∆AIB và ∆BHC có:

AI/BH = AB/BC (cmt)

∠BAI = ∠CBH (cùng phụ ACB)

⇒ ∆AIB ∆BHC (g-g)

⇒ ∠ABI = ∠BCH

Do HI // AB (cmt)

⇒ ∠ABI = ∠BIH (so le trong)

⇒ ∠BIH = ∠BCH

Ta có:

∠BIM = ∠BIH + ∠HIC + ∠MIC

= ∠BCH + ∠ICM + ∠ICH

= ∠BCD = 90⁰

Vậy MI ⊥ IB

Gọi N là trung điểm của BE

=> MN là đường trung ình của tam giác ABE

=>MN//AB, MN=1/2 AB

Mà AB=CD và AB//CD

=>MN//CD, MN = 1/2 CD

=> MNCK là hình bình hành

=> NC//MK (1)

Ta có: MN //AB

AB vuông góc với BC

=> MN vuông góc với BC tại E (E thuộc BC)

Tam giác BCM có BE và ME là đường cao và chúng cắt nhau tại N

=> CN vuông góc với BM (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

BM vuông góc với MK (đpcm)

Qua B dựng đường thẳng song song với DK và cắt AC tại G

Xét tam giác ADK ta có: AB = BD; BG//DK 

⇒ AG = GK (định lý đường trung bình của tam giâc)

⇒ GK = \(\dfrac{1}{2}\) AK (1) 

Xét tam giác BCG ta có:

         BM = MC; MK // BG

⇒ GK = KC (định lý 1 đường trung bình của tam giác) (2) 

Kết hợp (1) và (2) ta có: 

      KC = \(\dfrac{1}{2}\) AK

⇒ AK = 2KC (đpcm)

Dựng đường thẳng qua B và song song với DK cắt AC tại G

Xét tam giác ADK ta có:

AB = BD; BG // DK 

⇒ KG = GA = \(\dfrac{1}{2}\) AK (định lý 1 đường trung bình của tam giác) (1)

Xét tam giác BCG ta có:

BM = MC; MK // BG 

⇒ KC = KG (định lý 1 đường trung bình của tam giác) (2) 

Kết hợp (1) và (2) ta có:

   KC = \(\dfrac{1}{2}\) AK 

⇒ AK = 2KC (đpcm)

Ta có

\(BC=4CM\Rightarrow\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\dfrac{CM}{BM}=\dfrac{1}{3}=\dfrac{CN}{AN}\)

=> MN//AB (Talet đảo trong tam giác)

Lời giải:

Gọi $T$ là giao điểm $AK, DE$.
Xét tứ giác $ADHE$ có $\widehat{A}=\widehat{D}=\widehat{E}=90^0$ nên $ADHE$ là hình chữ nhật.

$\widehat{ADT}=\widehat{ADE}=\widehat{AHE}=90^0-\widehat{EHC}=\widehat{C}(1)$

Mặt khác:

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $AK$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AK=\frac{BC}{2}=BK$

$\Rightarrow ABK$ là tam giác cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{TAD}=\widehat{KAB}=\widehat{KBA}=\widehat{B}(2)$

Từ $(1); (2)\Rightarrow \widehat{ADT}+\widehat{TAD}=\widehat{B}+\widehat{C}=90^0$

$\Rightarrow \widehat{DTA}=180^0-(\widehat{ADT}+\widehat{TAD})=180^0-90^0=90^0$

$\Rightarrow DE\perp AK$ (đpcm)

Hình vẽ: