\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{3\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{6\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)+3\left(\sqrt{x}-1\right)-\left(6\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b.

\(P=-1\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=-1\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}-1=-\sqrt{x}-1\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{x}=0\)

\(\Rightarrow x=0\)

c.

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\sqrt{x}+1-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\)

\(P\in Z\Rightarrow\dfrac{2}{\sqrt{x}+1}\in Z\Rightarrow\sqrt{x}+1=Ư\left(2\right)\)

Mà \(\sqrt{x}+1\ge1\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}+1=1\\\sqrt{x}+1=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0\\\sqrt{x}=1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\left(loại\right)\\\end{matrix}\right.\)

Phương trình hoành độ giao điểm : 

x² = (m - 1)x - 1 

<=> x² - (m - 1)x + 1 = 0

Có nghiệm khi (m - 1)² - 4 \(\ge0\)

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-1\end{matrix}\right.\)

Hệ thức Viere : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m-1\\x_1x_2=1\end{matrix}\right.\) 

Thay A(x₁ ; y₁) ; B(x₂ ; y₂) vào (P) được 

y₁ = x₁² ; y₂ = x₂²

Khi đó ta được x₁⁶ - x₂⁶ = 18(x₁³ - x₂³) 

 <=> (x₁³ - x₂³)(x₁³ + x₂³ - 18) = 0 

<=> x₁ = x₂ hoặc (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 18 

Khi x₁ = x₂ => x₁ = x₂ = \(\pm1\)

(*) x₁ = x₂ = 1  <=> 2 = m - 1 <=> m = 3 (tm) 

(*) x₁ = x₂ = -1 <=> -2 = m - 1 <=> m = -1 (tm) 

Khi (x₁ + x₂)³ - 3x₁x₂(x₁ + x₂) = 18 

<=> (m - 1)³ - 3(m - 1) = 18

<=> (m - 1)³ - 27 - 3(m - 1) + 9 = 0

<=> (m - 4)[(m - 1)² + 3(m - 1) + 6] = 0

<=> (m - 4)(m² + m + 4) = 0

<=> m = 4 (vì m² + m + 4 > 0) (tm)

Vậy m \(\in\) {4 ; -1 ; 3} 

a, gọi giao điểm của hai đt là A(x,y) 
vậy tọa độ A là nghiệm của
     2x + 1 = 3x -2
=> x = 3
thay x = 3 vào y = 2x + 1  ta có y = 3.2 + 1 = 7
vậy giao hai đường thẳng là A( 3;7)
b, ba đường thẳng cùng đi qua 1 điểm khi và chỉ khi đt y = (2m+1)x + m - 3 đi qua C(3; 7)
vậy tọa độ điểm C thỏa mãn pt :  y = ( 2m + 1) x + m - 3
ta có : (2m +1).3 + m - 3 = 7
           6m + 3 + m - 3 = 7
                         7m = 7 
                           m = 1
vậy với m = 1 thì đt y = ( 2m +1)x + m - 3 đồng quy với d và d'

Lời giải:

Đặt $\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a$

BĐT cần chứng minh tương đương với:
$(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})^2+2\geq 3(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$

$\Leftrightarrow a^2+2\geq 3a$

$\Leftrightarrow a^2-3a+2\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-1)(a-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-1)(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(x^2-xy+y^2)(x-y)^2}{x^2y^2}\geq 0$

Điều này luôn đúng do:
$(x-y)^2\geq 0$

$x^2y^2>0$

$x^2-xy+y^2=(x-\frac{y}{2})^2+\frac{3}{4}y^2>0$ với mọi $x,y\neq 0$

Do đó ta có đpcm.