Ta có:

a + b + c = 0

<=> a² + b² + c² + 2(ab + bc + ac) = 0

<=> ab + bc + ac = -7

<=> a²b² + b²c² + a²c²  + 2abc(a + b + c) = 49

<=> a²b² + b²c² + a²c² = 49 (vì a + b + c = 0)

<=> 2(a²b² + b²c² + a²c²) = 98

<=> (a² + b² + c²)² = 98 + a⁴ + b⁴ + c⁴

<=> a⁴ + b⁴ + c⁴ = 14² - 98 = 98

\(x-2\sqrt{x-1}=16\)

Điều kiện: \(x\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1=16\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=16\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2=\left(\pm4\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}-1=4\\\sqrt{x-1}=-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-1}=5\\\sqrt{x-1}=-3\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}\right)^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow x=26\)

tìm x

\(\Sigma\dfrac{1}{\sqrt[3]{x\left(y+z\right)}}\ge\dfrac{9}{\sqrt[3]{x\left(y+z\right)}+\sqrt[3]{y\left(x+z\right)}+\sqrt[3]{\left(z\left(x+y\right)\right)}}=\dfrac{9\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{4}.\Sigma\sqrt[3]{x\left(y+z\right)}}\)

\(có:\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{x\left(y+z\right)}=\sqrt[3]{2.2x.\left(y+z\right)}\le\dfrac{2+2x+y+z}{3}\)

\(tương\) \(tự\Rightarrow\Sigma\dfrac{1}{\sqrt[3]{x\left(y+z\right)}}\ge\dfrac{9.\sqrt[3]{4}}{\dfrac{2+2x+y+z}{3}+\dfrac{2+2y+x+z}{3}+\dfrac{2+2z+x+y}{3}}=\dfrac{27\sqrt[3]{4}}{6+4\left(x+y+z\right)}\ge\dfrac{27.\sqrt[3]{4}}{6+4\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}}=\dfrac{27\sqrt[3]{4}}{6+4\sqrt{3.3}}=\dfrac{3}{\sqrt[3]{2}}\)

\(dấu"="\Leftrightarrow x=y=z=1\)

\(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{5}{6}\Leftrightarrow AB=\dfrac{5}{6}AC\)

\(BC^2=AB^2+AC^2=\left(\dfrac{5}{6}AC\right)^2+AC^2=\dfrac{61}{36}AC^2\)

\(\Rightarrow AC^2=8784\Rightarrow AC=12\sqrt{61}\Rightarrow AB=10\sqrt{61}\)

\(BD\) là phân giác của giác của \(\widehat{ABC}\) suy ra 

\(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{CD}{BC}=\dfrac{AD+CD}{AB+BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}=\dfrac{12\sqrt{61}}{10\sqrt{61}+122}=\dfrac{\sqrt{61}-5}{6}\)

\(\Rightarrow AD=\dfrac{\sqrt{61}-5}{6}.10\sqrt{61}=\dfrac{5}{3}\left(61-5\sqrt{61}\right)\)

Dựng hình vuông \(BCEF\). Lấy \(M\) thuộc \(BF\) sao cho \(PM=PQ\) khi đó suy ra \(MF=QA\). 

\(\Delta BCM=\Delta DCQ\left(c.g.c\right)\) suy ra \(\widehat{BCM}=\widehat{DCQ}\) 

suy ra \(\widehat{QCM}=\widehat{QCB}+\widehat{BCM}=\widehat{QCM}+\widehat{DCQ}=\widehat{DCB}=90^o\)

\(\Delta CPQ=\Delta CPM\left(c.c.c\right)\) suy ra \(\widehat{PCQ}=\widehat{PCM}\)

suy ra \(\widehat{PCQ}=\dfrac{1}{2}\widehat{QCM}=45^o\)

điều kiện để \(\sqrt{-x^2-3}\)  có nghĩa thì

    -x² - 3 ≥ 0

⇔ x²  + 3 ≤ 0

ta có  x² ≥ 0 ⇔ x² + 3 ≥ 0 ∀ x ϵ R

vậy không có giá trị nào của x để biểu thức trong căn có nghĩa 

`\sqrt{-x^2-3}` có nghĩa `<=>-x^2-3 >= 0`

                                     `<=>-x^2 >= 3`

                                     `<=>x^2 <= 3`

                                     `<=>|x| <= \sqrt{3}<=>-\sqrt{3} <= x <= \sqrt{3}`

Vậy `-\sqrt{3} <= x <= \sqrt{3}` thì căn thức có nghĩa

vì  2x² ≥ 0 ⇒ 2x² + 1  ≥ 1 ∀ x ϵ R

vậy \(\sqrt{2x^2+1}\) + \(\dfrac{2}{3}\) - 2x xác định ∀ x ϵ R 

Lời giải:

Biểu thức xác định khi $2x^2+1\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x\in\mathbb{R}$ do $2x^2+1\geq 2.0+1>0$ với mọi $x\in\mathbb{R}$)

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\text{VT}\geq \frac{1}{25}.\frac{81}{(x+y+z)^2}+\frac{1}{(2x+2y+1)^2}+\frac{1}{(2y+2z+1)^2}+\frac{1}{(2z+2x+1)^2}\)

\(=\frac{9^2}{25(x+y+z)^2}+\frac{1}{(2x+2y+1)^2}+\frac{1}{(2y+2z+1)^2}+\frac{1}{(2z+2x+1)^2}\)

\(\geq \frac{(9+1+1+1)^2}{25(x+y+z)^2+\sum (2x+2y+1)^2}=\frac{144}{25(x+y+z)^2+\sum (2x+2y+1)^2}\)

\(=\frac{144}{25.3(x^2+y^2+z^2)+\sum (2x+2y+1)^2}\)

Ta cần cm $\sum (2x+2y+1)^2\leq 20(x^2+y^2+z^2)+15$

$\Leftrightarrow 8(x^2+y^2+z^2)+8(xy+yz+xz)+8(x+y+z)+3\leq 20(x^2+y^2+z^2)+15$
$\Leftrightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(xy+yz+xz)+2(x+y+z)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2+(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2\geq 0$ (luôn đúng với mọi $x\in\mathbb{R}^+$)

Do đó ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$