Đặt 6x+7=a

Phương trình sẽ trở thành \(\left(a+1\right)\left(a-1\right)\cdot a^2=72\)

=>\(a^2\left(a^2-1\right)=72\)

=>\(a^4-a^2-72=0\)

=>\(\left(a^2-9\right)\left(a^2+8\right)=0\)

mà \(a^2+8>0\forall a\)

nên \(a^2-9=0\)

=>(a-3)(a+3)=0

=>(6x+7-3)(6x+7+3)=0

=>(6x+4)(6x+10)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{3}\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\left(6x+8\right)\left(6x+6\right)\left(6x+7\right)^2=72\left(^∗\right)\)

Đặt: \(6x+7=t\)

\(\left(^∗\right)\Rightarrow\left(t+1\right)\left(t-1\right)t^2=72\\ \Leftrightarrow\left(t^2-1\right)t^2=72\\ \Leftrightarrow t^4-t^2-72=0\\ \Leftrightarrow\left(t^4-9t^2\right)+\left(8t^2-72\right)=0\\ \Leftrightarrow t^2\left(t^2-9\right)+8\left(t^2-9\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(t^2+8\right)\left(t^2-9\right)=0\\ \Leftrightarrow\left(t^2+8\right)\left(t-3\right)\left(t+3\right)=0\\ \)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t^2+8=0\left(PTVN\right)\\t-3=0\\t+3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-3\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\left[{}\begin{matrix}6x+7=3\\6x+7=-3\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{2}{3}\\x=-\dfrac{5}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy pt có tập nghiệm: \(S=\left\{-\dfrac{2}{3};-\dfrac{5}{3}\right\}\)

a: ΔABD vuông tại A

=>\(AB^2+AD^2=BD^2\)

=>\(BD=\sqrt{8^2+6^2}=10\left(cm\right)\)

Xét ΔDHA vuông tại H và ΔDAB vuông tại A có

\(\widehat{HDA}\) chung

Do đó: ΔDHA~ΔDAB

=>\(\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{DA}{DB}\)

=>\(\dfrac{DH}{6}=\dfrac{AH}{8}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(DH=6\cdot\dfrac{3}{5}=3,6\left(cm\right);AH=8\cdot\dfrac{3}{5}=4,8\left(cm\right)\)

b: \(\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DA}{DB}\)

=>\(DA^2=DH\cdot DB\)

mà DA=BC

nên \(BC^2=DH\cdot DB\)

c: Xét ΔBME vuông tại M và ΔFMD vuông tại M có

\(\widehat{MBE}=\widehat{MFD}\left(=90^0-\widehat{ADB}\right)\)

Do đó: ΔBME~ΔFMD

e: Xét ΔFDB có

FM,BA là các đường cao

FM cắt BA tại E

Do đó: E là trực tâm của ΔFDB

=>DE\(\perp\)FB

mà DE\(\perp\)KB

và FB,KB có điểm chung là B

nên F,K,B thẳng hàng

a: \(tan\alpha=\dfrac{3}{5}\)

=>\(\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\dfrac{3}{5}\)

=>\(sin\alpha=\dfrac{3}{5}cos\alpha\)

\(M=\dfrac{sin\alpha+cos\alpha}{sin\alpha-cos\alpha}=\dfrac{\dfrac{3}{5}cos\alpha+cos\alpha}{\dfrac{3}{5}cos\alpha-cos\alpha}\)

\(=\dfrac{8}{5}:\left(-\dfrac{2}{5}\right)=\dfrac{8}{5}\cdot\dfrac{-5}{2}=-4\)

b: \(N=\dfrac{sin\alpha\cdot cos\alpha}{sin^2\alpha-cos^2\alpha}\)

\(=\dfrac{\dfrac{3}{5}\cdot cos\alpha\cdot cos\alpha}{\left(\dfrac{3}{5}cos\alpha\right)^2-cos^2\alpha}=\dfrac{\dfrac{3}{5}cos^2\alpha}{-\dfrac{16}{25}cos^2\alpha}=\dfrac{3}{5}:\dfrac{-16}{25}\)

\(=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{-25}{16}=\dfrac{-15}{16}\)

c: \(C=5\cdot cos^2\alpha+2\cdot sin^2\alpha\)

\(=5\cdot\left(1-sin^2\alpha\right)+2\cdot sin^2\alpha\)

\(=5-3\cdot sin^2\alpha=5-3\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2=5-3\cdot\dfrac{4}{9}\)

\(=5-\dfrac{4}{3}=\dfrac{11}{3}\)

|2x - 3| = x - 1

Ta có:

|2x - 3| = 2x - 3 khi x ≥ 3/2

|2x - 3| = 3 - 2x khi x < 3/2

*) Với x ≥ 3/2, ta có:

|2x - 3| = x - 1

2x - 3 = x - 1

2x - x = -1 + 3

x = 2 (nhận)

*) Với x < 3/2, ta có:

|2x - 3| = x - 1

3 - 2x = x - 1

-2x - x = -1 - 3

-3x = -4

x = 4/3 (nhận)

Vậy x = 4/3; x = 2

\(x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)=0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x-5\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=5\end{matrix}\right.\)

X=5;4

\(2x\left(1-7x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\)

\(\left(2024^2+2022^2+2020^2+...+2^2\right)-\left(2023^2+2021^2+2019^2+...+1^2\right)\\ =\left(2024^2-2023^2\right)+\left(2022^2-2021^2\right)+\left(2020^2-2019^2\right)+...+\left(2^2-1^2\right)\\ =\left(2024-2023\right)\left(2024+2023\right)+\left(2022-2021\right)\left(2022+2021\right)+\left(2020-2019\right)\left(2020+2019\right)+...+\left(2-1\right)\left(2+1\right)\)\(=1.\left(2024+2023\right)+1.\left(2022+2021\right)+1.\left(2020+2019\right)+...+1.\left(2+1\right)\)\(=1+2+...+2019+2020+2021+2022+2023+2024\)\(=\dfrac{\left(1+2024\right).2024}{2}=2049300\)

\(\left(2024^2+2022^2+2020^2+....+2^2\right)-\left(2023^2+2021^2+.....+1^2\right)\\ =2024^2+2022^2+2020^2+....+2^2-2023^2-2021^2-....-1^2\\ =\left(2024^2-2023^2\right)+\left(2022^2-2021^2\right)+.....+\left(2^2-1^2\right)\\ =\left(2024-2023\right)\cdot\left(2024+2023\right)+\left(2022-2021\right)\cdot\left(2022+2021\right)+.....+\left(2-1\right)\cdot\left(2+1\right)\\ =2024+2023+2022+2021+....+2+1\\ =\left(2024+1\right)\cdot\left[\left(2024-1\right):1+1\right]:2\\ =2025\cdot2024:2\\ =2049300\)

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi x ( m ) là chiều dài ban đầu của khu vườn hình chữ nhật ( x∈N∗∗, x > 0 )

Gọi y ( m )  là chiều rộng ban đầu của khu vườn hình chú nhật ( y∈N∗∗ , y > 0 )

Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200 m, nên ta có phương trình:

( x + y ) . 2 = 200 

⇔ 2x + 2y = 200 ( 1 )

Do mở rộng đường giao thông nông thôn nên chiều dài vườn giảm 8 m và biết diện tích đất còn lại là 2080 cm² dùng để trồng cây, nên ta có phương trình:

( x - 8 ) . y = 2080  ( 2 )

Ta có: ( 1 )

2x + 2y = 200 

⇔ x + y = 100 

⇔ x = 100 - y 

Thay y vào ( 2 ), ta được:

( 100 -  y  - 8 ) . y  = 2080 

⇔ 92y - y² = 2080

⇔ - y² + 92y - 2080 = 0 

Giải phương trình, ta được:

{y=52y=40{�=52�=40 

=> 100 - 52 = 48 ( nhận )

=> 100 - 40 = 60 ( nhận )

Vậy chiều dài là 60 m và chiều rộng là 48 - 8 = 40 m

a: Gọi giá niêm yết của 1 cái bút là x(đồng)

(Điều kiện: x>0)

Giá của 1 cây bút trong 30 cây bút đầu tiên là:

\(x\left(1-20\%\right)=0,8x\left(đồng\right)\)

Giá của 1 cây bút từ cây thứ 31 là:

\(0,8x\cdot\left(1-40\%\right)=0,48x\left(đồng\right)\)

Tổng số tiền là 900000 đồng nên ta có:

\(0,8x\cdot30+0,48x\cdot10=900000\)

=>24x+4,8x=900000

=>28,8x=900000

=>x=31250(nhận)

vậy: Giá niêm yết của 1 cây bút là 31250 đồng

b: Số tiền còn lại sau khi mua 40 cây đầu tiên là:

1260000-900000=360000(đồng)

Số cây bút còn lại mua được là:

360000:(0,48*31250)=24(cây)

Tổng số cây bút mua được là:

40+24=64(cây)

a: Xét ΔAMB vuông tại A và ΔIMA vuông tại I có

\(\widehat{AMB}\) chung

Do đó: ΔAMB~ΔIMA

b: Ta có:ABCD là hình vuông

=>AC\(\perp\)BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD

Xét ΔDOC vuông tại O và ΔDCB vuông tại C có

\(\widehat{ODC}\) chung

DO đó: ΔDOC~ΔDCB

=>\(\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{OC}{CB}\)

=>\(DC\cdot CB=OC\cdot DB\)

c: Xét ΔHAB có

BI,AO là các đường cao

BI cắt AO tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔHAB

=>HK\(\perp\)AB

mà AB\(\perp\)AD

nên HK//AD

d:

M là trung điểm của AD

=>\(AD=2\cdot AM=60\left(cm\right)\)

=>AB=60(cm)

ΔABM vuông tại A

=>\(BM^2=AB^2+AM^2=60^2+30^2=4500\)

=>\(BM=\sqrt{4500}=30\sqrt{5}\left(cm\right)\)

ΔABM vuông tại A

=>\(S_{ABM}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot AM=900\left(cm^2\right)\)

Xét ΔBIA vuông tại I và ΔBAM vuông tại A có

\(\widehat{IBA}\) chung

Do đó ΔBIA~ΔBAM

=>\(\dfrac{S_{BIA}}{S_{BAM}}=\left(\dfrac{BA}{BM}\right)^2=\left(\dfrac{60}{30\sqrt{5}}\right)^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2=\dfrac{4}{5}\)

=>\(S_{BIA}=\dfrac{4}{5}\cdot S_{BAM}=720\left(cm^2\right)\)

a/ Xét tg vuông AMB và tg vuông IMA có

ˆMAI=ˆABM���^=���^ (cùng phụ với ˆAMB���^ )

=> tg AMB đồng dạng với tg IMA (g.g.g)

b/

Trong hình vuông hai đường chéo vuông góc với nhau

Xét tg vuông OBC và tg vuông CBD có

ˆDBC���^ chung => tg OBC đồng dạng với tg CBD ⇒OCDC=BCBD⇒OC.BD=BC.DC(dpcm)⇒����=����⇒��.��=��.��(����)

c/ Kéo dài AH cắt CD tại N

Xét tg vuông ABM và tg vuông DAN có

ˆDAN=ˆABM���^=���^ (cùng phụ với ˆAMB���^ )

AB=AD (cạnh hình vuông)

⇒ΔABM=ΔDAN⇒Δ���=Δ��� (Tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

=> AM=DN mà AM=AD2��=��2 Và AD=CD ⇒DN=AD2=CD2⇒DN=CN⇒��=��2=��2⇒��=��

Xét tg ADC có

OA=OC (trong tg vuông hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) => DO là trung tuyến của tg ADC

DN=CN (cmt) => AN là trung tuyến của tg ADC

=> H là trọng tâm của tg ADC ⇒HODO=13⇒HODH=12⇒HO1=DH2=HO+DH1+2=OD3⇒����=13⇒����=12⇒��1=��2=��+��1+2=��3

Mà OD=OB ⇒DH2=HO1=OB3=HO+OB1+3=BH4⇒DH=BH2⇒BH=2.DH(dpcm)