Ta có :

\(\frac{KC}{sin\widehat{CAK}}=\frac{R\sqrt{2}}{sin\widehat{AKC}}=\frac{R\sqrt{2}}{sin\widehat{AED}}=\frac{AE}{sin\widehat{ADE}}=\frac{AE}{sin\widehat{BIE}}=\frac{AE}{sin\widehat{AIE}}=\frac{3R}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{AKC}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow AK=\frac{2}{3R}\)

áp dụng định lý Py ta go vào \(\Delta AOK\) ta được

\(AK^2=AO^2+OK^2\)

\(\Rightarrow OK=\sqrt{R^2-\frac{4}{9R^2}}=\sqrt{9R^4-4}\)

\(\Rightarrow DK=OD-OK=R-\sqrt{9R^4-4}\)

\(AK=\frac{2}{\sqrt{3}}R\) chứ bạn?

\(S_{ABC}=\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}=\frac{abc}{4R}\)

+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{ac\sin B}{2}\Rightarrow b\sin A=a\sin B\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\left(1\right)\)

+ Từ \(\frac{ac\sin B}{2}=\frac{ab\sin C}{2}\Rightarrow c\sin B=b\sin C\Rightarrow\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\left(2\right)\)

+ Từ \(\frac{bc\sin A}{2}=\frac{abc}{4R}\Rightarrow\sin A=\frac{a}{2R}\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=2R\left(3\right)\)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\left(dpcm\right)\)

Từ A kẻ đường cao AH (H thuộc BC) , Từ B kẻ đường cao BK (K thuộc AC)

Ta có : $sinA=\frac{BK}{AB}$ ; $sinB=\frac{AH}{AB}$ ; $sinC=\frac{AH}{AC}$

$\Rightarrow \frac{AB}{sinC}=\frac{AB}{\frac{AH}{AC}}=\frac{AB.AC}{AH}$ ; $\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{\frac{AH}{AB}}=\frac{AB.AC}{AH}$

$\Rightarrow \frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$ (1)

Lại có : $BK=sinC.BC\Rightarrow \frac{BC}{sinA}=\frac{BC}{\frac{BK}{AB}}=\frac{BC.AB}{BK}=\frac{AB.BC}{sinC.BC}=\frac{AB}{sinC}$

$\Rightarrow \frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có : $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$ (Đpcm)

Vẽ đường kính AD và $AH\perp BC\left(H\in BC\right)$.

Ta có \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $\Rightarrow \backslash (\backslash widehat\{ACD\}\backslash )={90}^0$.

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta ADC$ có:

$\backslash (\backslash widehat\{AHB\}\backslash )=\backslash (\backslash widehat\{ACD\}\backslash )={90}^0$;

 \(\widehat{ABH}=\widehat{ADC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC);

$\Rightarrow \Delta ABH\sim \Delta ADC\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow \frac{5}{15}=\frac{8}{2R}\Rightarrow 2R=24\iff R=12\left(cm\right)$

ta có

\(199^{20}< 200^{20}=2^{20}.10^{40}\)

\(2003^{15}>2000^{15}=2^{15}.10^{45}=2^{15}.10^5.10^{40}>2^{20}.10^{40}>199^{20}\)

vì vậy \(2003^{15}>199^{20}\)

Mipan 

\(\frac{x}{36}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow4x=36\Leftrightarrow x=36:4\Leftrightarrow x=9\)

\(\frac{x}{36}\)= \(\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{4}\)= \(\frac{1.9}{4.9}\)= \(\frac{9}{36}\)

\(\Rightarrow x=9\)

Vẽ đường kính AK

+) Dễ có: ^KBC = ^KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

+) ^ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ABK = 90⁰

 Có: ^KBC + ^CBA = ^ABK = 90⁰ (cmt)

       ^BAH + ^CBA = 90⁰ (∆ABH vuông tại H)

Từ đó suy ra ^KBC = ^BAH                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BAH = ^KAC hay ^BAH = ^OAC (đpcm)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\widehat{ACE}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^o\) (1)

Theo gt, ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^O\) (2)

Lại có: \(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm