Tính giá trị một số biểu thức mũ, logarit SVIP

Biết $\alpha,$ $\beta$ là hai số thực thỏa mãn $2^{\beta}\left( 2^{\alpha} + 2^{\beta} \right) = 8\left( 2^{- \alpha} + 2^{- \beta} \right).$ Giá trị của $\alpha + 2\beta$ bằng

Cho hàm số $f(x) = \left( \dfrac{1}{2} \right)^{x}$ và biểu thức $P = f(x - 1) + f(x - 2).$ Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho $9^{x} + 9^{- x} = 23.$ Giá trị biểu thức $P = \dfrac{5 + 3^{x} + 3^{- x}}{1 - 3^{x} - 3^{- x}}$ bằng

Cho hàm $f(x) = \left( x^{1 + \frac{1}{2\log_{4}x}} + 8^{\frac{1}{3\log_{x^{2}}2}} + 1 \right)^{\frac{1}{2}} - 1$ với $0 < x \neq 1.$ Giá trị $P = f(2028)$ bằng

Cho hàm $f(x) = \ln2023 - \ln\left( \dfrac{x + 1}{x} \right).$ Giá trị $S = f'(1) + f'(2) + \text{...} + f'(2023)$ bằng

Cho hàm $f(x) = a\text{.log}^{2019}\left( \sqrt{x^{2} + 1} + x \right) + b\sin x\text{.cos}(2018x) + 6$ với $a,b\mathbb{\in R}.$ Biết $f\left( 2018^{\ln 2019} \right) = 10$, Giá trị của biểu thức $f\left( - 2019^{\ln 2018} \right)$ bằng

Cho hàm $f(x) = \dfrac{1}{2}\text{log}_{2}\left( \dfrac{2x}{1 - x} \right)$. Giá trị $S = f\left( \dfrac{1}{2017} \right) + f\left( \dfrac{2}{2017} \right) + \text{...} + f\left( \dfrac{2020}{2021} \right)$ bằng

Cho $x$ là số thực dương và $y$ là số thực thỏa $2^{x + \frac{1}{x}} = \text{log}_{2}\left\lbrack 14 - (y - 2)\sqrt{y + 1} \right\rbrack.$ Giá trị của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} - xy + 1$ bằng

Cho hàm số $f(x) = \dfrac{4^{x}}{4^{x} + 2}.$Tổng $S = f\left( \dfrac{1}{2021} \right) + f\left( \dfrac{2}{2021} \right) + \text{...} + f\left( \dfrac{2020}{2021} \right)$ bằng

Xét hàm số $f(t) = \dfrac{9^{t}}{9^{t} + m^{2}}$ với $m$ là tham số thực. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho $f(x) + f(y) = 1$ với mọi $x,y$ thỏa mãn $e^{x + y} \leq e(x + y).$ Số phần tử của $S$ bằng