Tích phân hàm ẩn (Phần 2 - Vận dụng cao) SVIP

Hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $3f(x)+f\left(2-x\right)=2\left(x-1\right){\text{e}^{x^2-2x+1}}+4$. Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^2f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\left[0\,;\,4\right]$ và thỏa mãn đẳng thức $2019f(x)+2020f\left(4-x\right)=6059-\dfrac{\sqrt{x}}{2}$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_0^4f'(x)\,\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\left[0;3\right]$; $f\left(3-x\right).f(x)=1,$ $f(x)\ne-1$ với mọi $x\in\left[0;3\right]$ và $f(0)=\dfrac{1}{2}$. Khi đó tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^3\dfrac{x.f'(x)}{\left[1+f\left(3-x\right)\right]^2.f^2(x)}{\rm d}x$ bằng

Xét hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$ và thỏa mãn $f(x)+xf\left(1-x^2\right)+3f\left(1-x\right)=\dfrac{1}{x+1}$. Tích phân $I=\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên đoạn $\left[0;1\right]$ thỏa mãn điều kiện $f(x)+2f\left(1-x\right)=3x^2-6x,\forall x\in\left[0;1\right]$. Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_0^1f\left(1-x^2\right){\rm d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm $f'(x)$ liên tục trên đoạn $\left[0;\,1\right]$ thỏa $f(1)=0$, $\displaystyle\int\limits_0^1\left(f'(x)\right)^2\text{{\rm d}x}=\dfrac{\pi^2}{8}$ và $\displaystyle\int\limits_0^1\text{cos}\left(\dfrac{\pi}{2}x\right)f(x)\text{d}x=\dfrac{1}{2}$. Khi đó $\displaystyle\int\limits_0^1f(x)\text{d}x$ bằng

Cho hàm số $f(x)>0$ có đạo hàm liên tục trên $\left[0,\dfrac{\pi}{3}\right]$, đồng thời thỏa mãn $f'(0)=0$; $f(0)=1$ và $f''(x).f(x)+\left[\dfrac{f(x)}{\cos x}\right]^2=\left[f'(x)\right]^2$. Khi đó $T=f\left(\dfrac{\pi}{3}\right)$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f'(x)+2xf(x)=e^xf(x)$ với $f(x)\ne 0$ $\forall x$ và $f(0)=1$. Khi đó $\left| f(1)\right|$ bằng

Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\left[0,\pi\right]$. Biết $f(0)=2e$ và $f(x)$ luôn thỏa mãn đẳng thức $f'(x)+\sin x.f(x)=\cos x.e^{\cos x},\forall x\in\left[0,\pi\right]$. Khi đó $I=\displaystyle\int\limits_0^{\pi}{f(x).{\rm d}x}$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)=a{x^3}+bx^2+cx+d$, $(a,$ $b,$ $c,$ $d$ $\in\mathbb{R}$, $a\ne 0)$ có đồ thị là $(C)$. Biết đồ thị $(C)$ đi qua gốc toạ độ và có đồ thị $y=f'(x)$ cho bởi hình vẽ.

Giá trị $H=f(4)-f(2)$ bằng