CMR: \(\forall x\ge0\) thì:
\(\left(x^3+x^2+x+1\right)^2\ge16x^3\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
29 tháng 11 2017
Lời giải:
a)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
\(x^3+x^2+x+1\geq 4\sqrt[4]{x^3.x^2.x.1}=4\sqrt[4]{x^6}\)
\(\Rightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16\sqrt{x^6}\)
\(\Leftrightarrow (x^3+x^2+x+1)^2\geq 16x^3\) (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=1\)
b)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\frac{b+c}{a}.1\leq \left(\frac{\frac{b+c}{a}+1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left(\frac{b+c+a}{a}\right)^2\)
\(\Rightarrow \frac{a}{b+c}\geq 4\left(\frac{a}{a+b+c}\right)^2\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a}{b+c}}\geq \frac{2a}{a+b+c}\)
Thực hiện tương tự với cac phân thức còn lại và cộng theo vế thu được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=2\)
Dấu bằng xảy ra khi
\(\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=1\Rightarrow a+b+c=2a=2b=2c\)
\(\Rightarrow a=b=c\Rightarrow \frac{b+c}{a}=2\neq 1\) (vô lý)
Do đó dấu bằng không xảy ra
Vì vậy: \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}>2\)
HP
10 tháng 10 2020
Ta có: \(x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge0\)
\(\Leftrightarrow f\left(m\right)=\left(-6x+1\right)m+x^2+2x+3\ge0\)
Ta thấy \(f\left(m\right)\) là hàm số bậc nhất mà \(x\in[1;+\infty)\Rightarrow-6x+1< 0\)
\(\Rightarrow\) Hàm \(f\left(m\right)\) nghịch biến
Từ giả thiết \(m\le1\Rightarrow f\left(m\right)\ge f\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2\left(3m-1\right)x+m+3\ge\left(x-2\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm, ta có:
\(x^3+x^2+x+1\ge4\sqrt[4]{x^3.x^2.x.1}=4\sqrt[4]{x^6}\)
\(\Rightarrow\left(x^3+x^2+x+1\right)^2\ge\left(4\sqrt[4]{x^6}\right)^2=16\sqrt[4]{x^{12}}=16x^3\)
Dấu = xảy ra khi \(x^3=x^2=x=1\)
\(\Rightarrow x=1\)
Vậy \(\left(x^3+x^2+x+1\right)^2\ge16x^3\) với \(\forall x\ge0\)
ta co (x^3 +x^2 +x+1)^2
= (x+1)^2(x^2+1)^2 \(_{\ge}\)16 x^3 ( BĐT Co-si)
mình là Hưng 8B Đây