Question

[Nguyễn Thị Hạnh]

Bài 6 (0,5 điểm) Chứng tỏ rằng: $A=1+4+4^2+4^3+...+4^{2\ 024}$ chia hết cho $21$.

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

A = 1 + 4  + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²³ +  4²⁰²⁴

A = 4⁰ + 4¹ + 4² + 4³ + ... +4²⁰²³ + 4²⁰²⁴ 

Xét dãy số: 0; 1; 2; 3; ...; 2023; 2024

Dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là: 1 - 0 = 1

Số hạng của dãy số trên là: (2024 - 0) : 1  +  1 = 2025 (số hạng)

Vậy A có 2024 hạng tử. Vì 2025 : 3  = 675

Nếu nhóm 3 hạng tử liên tiếp của A thành một nhóm, A sẽ là tổng của 675 khi đó ta có:

A = (1 + 4 + 4²) + (4³ + 4⁴ + 4⁵) +...+ (4²⁰²² + 4²⁰²³ + 4²⁰²⁴)

A = (1 + 4+ 4²) + 4³.( + 4 + 4²) + ... + 4²⁰²².(1 + 4 + 4²)

A = (1 + 4 + 4²).(1 + 4³ + ... + 4²⁰²²)

A = 21.(1 + 4³ + ... + 4²⁰²²)

Vì 21 ⋮ 21 nên 21.(1 + 4³ + ... + 4²⁰²²) ⋮ 4

Hay A = 1 + 4 + 4² + 4³ + ... + 4²⁰²⁴ ⋮ 4 (đpcm)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

\(A=1+4+4^2+...+4^{2022}+4^{2023}+4^{2024}\)

\(A=\left(1+4+4^2\right)+\left(4^3+4^4+4^5\right)+...+\left(4^{2022}+4^{2023}+4^{2024}\right)\)

\(A=\left(1+4+4^2\right)+4^3.\left(1+4+4^2\right)+...+4^{2022}.\left(1+4+4^2\right)\)

\(A=21+4^3.21+...+4^{2022}.21\)

\(A=21.\left(1+4^3+...+4^{2022}\right)\)

Do 21 chia hết 21 nên A chia hết 21