Chứng minh rằng : \(\sqrt{2}\)là một số vô tỉ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
1
GH
11 tháng 7 2023
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
5 tháng 8 2016
Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm )
b) tương tự :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ
LA
1
10 tháng 9 2020
a) Bằng phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 (tức là a/b tối giản), a,b>0
\(\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow2b^2=a^2\Rightarrow a^2\)là số chẵn \(\Rightarrow a\)là số chẵn
Đặt \(a=2k\Rightarrow b\sqrt{2}=2k\Rightarrow2b^2=4k^2\Rightarrow b^2=2k^2,k\inℕ\)
\(\Rightarrow b^2\)là số chẵn\(\Rightarrow b\)là số chẵn
Vậy \(2\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết--->đpcm
b) Bằng phản chứng giả sử \(3\sqrt{3}-1\)là số hữu tỉ
---> Đặt \(3\sqrt{3}-1=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 và a,b>0
\(\Rightarrow3b\sqrt{3}=a+b\Rightarrow27b^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2⋮9\Rightarrow a+b⋮3\)
Đặt \(a+b=3k,k\inℕ\Rightarrow a=3k-b\Rightarrow\frac{3k-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{3k}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow k^2=3b^2\Rightarrow k^2⋮3\Rightarrow k⋮3\)---> Đặt \(k=3l,l\inℕ\Rightarrow a=9l-b\Rightarrow\frac{9l-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{9l}{b}=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow b^2=3l^2\Rightarrow b^2⋮3\Rightarrow b⋮3\)
\(\Rightarrow3\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết---> đpcm
(Bài dài quá, giải mệt vler !!)
L
2
F
20 tháng 10 2019
Bài giải
a, Ta có :
\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(7-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
b, Ta có :
\(\sqrt{5}\)là số vô tỉ \(\Rightarrow\sqrt{5}+24\) là số vô tỉ
LQ
2
5 tháng 10 2020
Ta có: \(\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ
=> \(2+\sqrt{5}\) là 1 số vô tỉ
=> \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\) là số vô tỉ
=> đpcm
5 tháng 10 2020
Giả sử \(\sqrt{2+\sqrt{5}}=q\left(q\inℚ\right)\)
\(\Rightarrow2+\sqrt{5}=q^2\inℚ\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{5}=q-2\inℚ\)(Vô lý vì \(\sqrt{5}\in I\))
Vậy điều giả sử là sai hay \(\sqrt{2+\sqrt{5}}\)là số vô tỉ
PT
2
MT
8 tháng 10 2019
Mọi số n không là số chính phương thì \(\sqrt{n}\)là số vô tỉ nên
\(\sqrt{2}\)và \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
Suy ra \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ
8 tháng 10 2019
Đặt \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
Giả sử x là số hữu tỉ , nghĩa là \(x=\frac{p}{q}\left(p,q\in N,q\ne0\right)\)
Ta có : \(\frac{p}{q}=\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}=\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\frac{p^2}{q^2}-5=2\sqrt{6}\) ( vô lí )
Vì \(\frac{p^2}{q^2}\) là số hữu tỉ và \(2\sqrt{6}\) là số vô tỉ
Vậy \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) không phải là số hữu tỉ
\(\Rightarrow x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) lá số vô tỉ
Chúc bạn học tốt !!!
AH
17 tháng 9 2018
làm bừa thui,ai tích mình mình tích lại
Số số hạng là :
Có số cặp là :
50 : 2 = 25 ( cặp )
Mỗi cặp có giá trị là :
99 - 97 = 2
Tổng dãy trên là :
25 x 2 = 50
Đáp số : 50
CD
17 tháng 9 2018
Note: Mình tạm gọi căn 2 là c nhé.
CM c vô tỉ: GS c là số hữu tỉ >> c = a/b ( a,b khác 0; ƯCLN = 1)
>> c^2 = 2 = a^2/b^2
>>a^2 : 2 =b^2
Mà ta có ƯCLN của a,b = 1 >> vô lý >> c là số vô tỉ
CM 1+c vô tỉ: GS 1+c = d. GS d là số hữu tỉ >> d-1=c. Có d và 1 là 2 số hữu tỉ>> d-1 là số hữu tỉ mà c là số vô tỉ >> vô lý >> d là số vô tỉ
Nếu \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì
Ta có\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow2=\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)
Suy ra được \(a^2=2b^2\)
Đặt \(a=2k\)
Suy ra \(\left(2k\right)^2=2b^2=2k^2\)
Suy ra b là số chẵn
Suy ra a,b ko phải là 2 số nguyên tố cùng nhau
Suy ra Giả sử sai
Vậy \(\frac{a}{b}\)là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left(a,b\in Q;b\ne0;\left(a,b\right)=1\right)\)
\(\Rightarrow2=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2b^2\)
Vì \(\frac{a}{b}\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow a^2⋮2\Rightarrow a⋮2\left(1\right)\)
=> a = 2k (k thuộc Q) => a2 = 4k2
Ta có: a2 = 2b2 => 4k2 = 2b2 => 2k2 = b2 => \(b^2⋮2\Rightarrow b⋮2\) (2)
Từ (1) và (2) => (a,b) khác 1 => trái với giả sử
Vậy...