10 cho \(M=x^{2017}-x^{2013}\left(x\in Z\right)\)chứng minh M chia hết cho 30
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
18 tháng 6 2022
Bài 3:
\(24^{54}\cdot54^{24}\cdot2^{10}\)
\(=\left(2^3\cdot3\right)^{54}\cdot\left(3^3\cdot2\right)^{24}\cdot2^{10}\)
\(=2^{108}\cdot3^{54}\cdot3^{72}\cdot2^{24}\cdot2^{10}\)
\(=2^{142}\cdot3^{78}\)
\(72^{63}=\left(2^3\cdot3^2\right)^{63}=2^{189}\cdot3^{126}⋮2^{142}\cdot3^{78}\)(ĐPCM)
19 tháng 4 2019
Có: \(x+y+z⋮6\)
\(\Rightarrow x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=6k-z\\y+z=6k-x\\z+x=6k-y\end{cases}}\)
\(M=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)
\(\Leftrightarrow M=x^2y+y^2z+z^2y+xy^2+xz^2+x^2z-2xyz-2xyz\)
\(\Leftrightarrow M=xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+xz\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow M=xy\left(6k-z\right)+yz\left(6k-x\right)+xz\left(6k-y\right)\)
\(\Leftrightarrow M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)
Ta có:\(x+y+z=6k\left(k\in Z\right)\)
\(\Rightarrow\)x+y+z là số chẵn.
\(\Rightarrow\)trong 3 số x;y;z có ít nhất 1 số chẵn
\(\Rightarrow xyz⋮2\)
\(\Rightarrow3xyz⋮6\)
\(M=6k\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)( vì \(6k\left(xy+yz+zx\right)⋮6\))
đpcm
NC
21 tháng 2 2021
Ta có:\(M=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)-2xyz\)
\(=\left(x^2+xz+xy+yz\right)\left(y+z\right)-2xyz\)
\(=x^2y+x^2z+xyz+xz^2+xy^2+xyz+y^2z+yz^2-2xyz\)
\(=x^2y+x^2z+xz^2+xy^2+y^2z+yz^2\)
\(=\left(x^2y+xy^2+xyz\right)+\left(y^2z+yz^2+xyz\right)+\left(z^2x+zx^2+xyz\right)-3xyz\)
\(=xy\left(x+y+z\right)+yz\left(x+y+z\right)+xz\left(x+y+z\right)-3xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)-3xyz\)
Vì \(\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+xz\right)⋮6\)
Giả sử:Trg 3 số x,y,z không tồn tại số nào chẵn
=> x+y+z lẻ mà 1 số lẻ không chia hết cho 6 nên điều g/s sai
=> tồn tại ít nất 1 trong 3 số x,y,z chẵn
Giả sử: x chẵn
=> x chia hết cho 2 => 3xyz chia hết cho 6
=> đpcm
13 tháng 10 2018
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\left(x;y;z,x+y+z\ne0\right)\)
\(\Rightarrow\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(xy+yz\right)\left(x+y+z\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y\left(x+z\right)\left(x+y+z\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+y^2+yz\right)+xz\left(x+z\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(xy+y^2+yz+xz\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left[y\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+z\right)\left(x+y\right)\left(y+z\right)=0\)
Từ đó \(x=-z\)hoặc \(x=-y\)hoặc \(y=-z\)
-Nếu \(x=-z\Rightarrow z^{2017}+x^{2017}=0\Rightarrow M=\frac{19}{4}+0=\frac{19}{4}\)
Tương tự với các trường hợp còn lại, ta cũng tính được \(M=\frac{19}{4}\)
\(M=x^{2017}-x^{2013}=x^{2013}\left(x^4-1\right)=x^{2013}\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=x^{2012}.x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\)
Do \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮6\)(1)
Ta lại có : \(x\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x^2-4+5\right)\)
\(=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)-5x\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
Vì \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)⋮5\)(tích 5 số nguyên LT)
Nên \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)-5x\left(x+1\right)\left(x-1\right)⋮5\)
=> M chia hết cho 5 (2)
Từ (1) ; (2) => M chia hết cho 30