Question

[Hồ Quang Quân]

cho x,y,z thuộc R Tm: xy+zy+xz+2x+2y+2z=45 CM: X^2+y^2+z^2>= 27

Answer 1

[Bá đạo sever là tao]

Ta có BĐT \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\in R\)

Tương tự: \(y^2+1\ge2y;z^2+1\ge2z\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\left(1\right)\)

Và BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\forall x,y,z\in R\)

Cộng theo vế 2 BĐT (1);(2) ta có:

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge45\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge42\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge21\)

Khi x=y=z=1

Answer 2

[Đinh Đức Hùng]

Sửa đề : cho \(CM:x^2+y^2+z^2\ge21\)

Ta có : \(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xy-2xz\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\)(1)

Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+3\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge2x+2y+2z-3\)(2)

Cộng vế với vế của (1); (2) lại ta được :

\(2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge xy+yz+xy+2x+2y+2z-3\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge45-3=42\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{42}{2}=21\)(đpcm)