Question

[Nguyễn Thị Kim Ngân]

Cho A = 1 + 2 + 2 mũ 2 + 2 mũ 3 + …. + 2 mũ 2019

Chứng tỏ rằng A chia hết cho 3 và 7

Answer 1

[Nguyễn Thị Thương Hoài]

             A = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰¹⁹

   Xét dãy số: 0; 1; 2; 3;...;2019 dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách là:

                        2 - 1 = 1

Số số hạng của dãy số trên là:

                      (2019 - 0) :  1 + 1 = 2020 (số hạng)

Vì 2020 : 2 = 1010  nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào nhau ta được A: 

A = 1 + 2 + 2² + 2³ +...+ 2²⁰¹⁹

A = (1 + 2) + (2² + 2³) + ... + (2²⁰¹⁸ + 2²⁰¹⁹)

A = 3 + 2².( 1 + 2) + .... + 2²⁰¹⁸.(1 + 2)

A = 3. + 2².3 + .... + 2²⁰¹⁸.3

A = 3.( 1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁸)

Vì 3 ⋮ 3 ⇒ A = 3.(1 + 2² + ... + 2²⁰¹⁸) ⋮ 3

Vì 2020 : 3  = 673 dư 1 nên nhón 3 hạng tử liên tiếp của A thành một nhóm thì A là tổng của 1 và 673 nhóm khi đó 

A = 1 + ( 2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2²⁰¹⁷ + 2²⁰¹⁸ + 2²⁰¹⁹)

A = 1 + 2.( 1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + ... + 2²⁰¹⁷.(1 + 2 + 2²)

A = 1 + 2.7 + 2⁴.7 + ... + 2²⁰¹⁷ . 7

A = 1 + 7.(2 + 2⁴ + .... + 2²⁰¹⁷)

Vì 7 ⋮ 7; 1 không chia hết cho 7 nên A không chia hết cho 7

Việc chứng minh A ⋮ 7 là điều không thể xảy ra.