Question

[Lưu Minh Quân]

tìm cặp số tự nhiên x,y sao cho : 1Ị +2Ị+3Ị+...+xỊ=y mũ 2

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$y^2=1!+2!+3!+4!+5!+...+x!$

Nếu $x=1$ thì $y^2=1\Rightarrow y=1$
Nếu $x=2$ thì $y^2=1!+2!=3$ (loại) 

Nếu $x=3$ thì $y^2=1!+2!+3!=9\Rightarrow y=3$

Nếu $x=4$ thì $y^2=1!+2!+3!+4!=33$ (loại) 

Nếu $x\geq 5$ thì:

$y^2=(1!+2!+3!+4!)+(5!+...+x!)=33+(5!+...+x!)$

Từ $5!+...+x!$ luôn chia hết cho 5 do bản thân mỗi số hạng chia hết cho 5.

$\Rightarrow y^2-33\vdots 5$

$\Rightarrow y^2-33+30\vdots 5$ hay $y^2-3\vdots 5$

$\Rightarrow y^2$ chia $5$ dư $3$. Mà 1 scp khi chia 5 dư 0,1,4 nên điều này vô lý

Do đó $(x,y)=(1,1), (3,3)$