Question

[BHQV]

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là giao điểm các đường phân giác của A và B. Gọi N là giao điểm các đường phân giác của A và D. Gọi P là giao điểm các đường phân giác của C và D. Gọi Q là giao điểm các đường phân giác của C và B.

a) Chứng minh AN vuông góc với BQ.

b) Chứng minh MNPQ là hình chữ nhật.

c) Chứng minh bốn đường thẳng AC, BD, MP, QN đồng quy.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: ABCD là hình bình hành

=>\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^0;\widehat{ABC}+\widehat{BCD}=180^0;\widehat{ADC}+\widehat{BCD}=180^0;\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)

\(\widehat{BAD}+\widehat{ABC}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{MAB}+\widehat{MBA}=90^0\)

=>\(\widehat{AMB}=90^0\)

=>AM vuông góc MB

=>AN vuông góc BQ

b: \(\widehat{ADC}+\widehat{BCD}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{PDC}+\widehat{PCD}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{PDC}+\widehat{PCD}=90^0\)

=>ΔPCD vuông tại P

=>\(\widehat{CPD}=90^0\)

=>\(\widehat{NPQ}=90^0\)

\(\widehat{BAD}+\widehat{ADC}=180^0\)

=>\(2\cdot\left(\widehat{NAD}+\widehat{NDA}\right)=180^0\)

=>\(\widehat{NAD}+\widehat{NDA}=90^0\)

=>ΔNAD vuông tại N

=>\(\widehat{AND}=90^0\)

=>\(\widehat{MNP}=90^0\)

Xét tứ giác MNPQ có

\(\widehat{MNP}=\widehat{NMQ}=\widehat{NPQ}=90^0\)

=>MNPQ là hình chữ nhật