Cho tam giác ABC có \(AB = c, AC = b, \widehat A = \alpha \). Viết công thức tính BC theo \(b,c,\alpha \)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ C kẻ đường cao xuống AB, giao với AB tại H
Trong tam giác vuông HBC có:
BC2 = CH2 + BH2 ( 1 )
Trong tam giác vuông ACH, ta có:
CH2 = AC2 - AH2 ( 2 )
Thay BH = / AB - AH / ( Xét cả hai trường hợp góc B nhỏ hơn và lớn hơn 90o ), ta được:
BH2 = / AB - AH /2 = AB2 + AH2 - 2AB . AH ( 3 )
Thay ( 2 ) và ( 3 ) vào ( 1 ) ta được:
BC2 = ( AC2 - AH2 ) + ( AB2 + AH2 -2.AB.AH )
= AB2 + AC2 -2.AB.AH
= AB2 + AC2 - 2.AB.AC.cosA
Hay: BC = b2 +c2 - 2bc. cos \(\alpha\).
a) \(\left(sinA+cosA\right)^2=sin^2A+cos^2A+2sinAcosA=1+2sinAcosA\)
vì tam giác \(ABC\)nhọn nên \(0^o< \widehat{A}< 90^o\)nên \(sinA>0,cosA>0\Rightarrow2sinAcosA>0\)
nên \(\left(sinA+cosA\right)^2>1\Leftrightarrow sinA+cosA>1\)do \(sinA>0,cosA>0\).
b) Kẻ đường cao \(AH\).
Đặt \(HB=x\Rightarrow HC=a-x\).
Xét tam giác \(AHB\)vuông tại \(H\): \(AH=HB.tan\widehat{ABH}=xtan45^o=x\)
Xét tam giác \(AHC\)vuông tại \(H\): \(AH=HCtan\widehat{ACH}=\left(a-x\right)tan60^o=\sqrt{3}\left(a-x\right)\)
Ta có: \(x=\sqrt{3}\left(a-x\right)\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a\)
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}a.a=\frac{3-\sqrt{3}}{4}a^2\).
Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow B{C^2} = {c^2} + {b^2} - 2.c.b.\cos \alpha \\ \Leftrightarrow BC = \sqrt {{c^2} + {b^2} - 2bc.\cos \alpha } \end{array}\)