Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HP
27 tháng 1 2021
Áp dụng BĐT BSC và BĐT \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\):
\(A=x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\)
\(\Rightarrow A^2=\left(x\sqrt{y+1}+y\sqrt{x+1}\right)^2\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left(x+y+2\right)\)
\(\le\left(x^2+y^2\right)\left[\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+2\right]=\sqrt{2}+2\)
\(\Rightarrow-\sqrt{\sqrt{2}+2}\le A\le\sqrt{\sqrt{2}+2}\)
\(\Rightarrow minA=\sqrt{\sqrt{2}+2}\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
H
0
MN
2
22 tháng 2 2018
Ta có :
\(P=x^2-x\sqrt{y}+x+y-\sqrt{y}+1\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P=2x^2-2x\sqrt{y}+2x+2y-2\sqrt{y}+2\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P=\left[\left(x^2-2x\sqrt{y}+y\right)+\frac{4}{3}\left(x-\sqrt{y}\right)+\frac{4}{9}\right]+\left(x^2+\frac{2x}{3}+\frac{1}{9}\right)+\left(y-\frac{2}{3}.\sqrt{y}+\frac{1}{9}\right)+\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P=\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)+\left(x+\frac{1}{3}\right)^2+\left(y^2-\frac{1}{3}\right)^2+\frac{4}{3}\ge\frac{4}{3}\)
\(\Leftrightarrow\)\(2P\ge\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{2}{3}\)
Vậy \(P_{min}=\frac{2}{3}\)
22 tháng 2 2018
àk chỗ \(\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)\) mình nhầm nhé phải là \(\left(x-\sqrt{y}+\frac{2}{3}\right)^2\)
hihi tại nhìu số quá nên nhìn nhầm sorry :'P
XO
29 tháng 1 2022
\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x+y-x}}+\dfrac{y}{\sqrt{x+y-y}}=\dfrac{x}{\sqrt{y}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{x^2}{x\sqrt{y}}+\dfrac{y^2}{y\sqrt{x}}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x\sqrt{y}+y\sqrt{x}}=\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\sqrt{xy}\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\left(1.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)}\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{\dfrac{x+y}{2}.\sqrt{\left(1^2+1^2\right)\left(x+y\right)}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)
"=" khi x = y = 1/2
T
29 tháng 9 2019
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!