Cho \(\Delta ABC\) cân tại A, đường cao BH. Trên đáy BC lấy điểm M, vẽ \(MD⊥AB,\)\(ME⊥ÃC,\)\(MF⊥BH.\)
- Chứng minh khi M chạy trên BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi.
- Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho KC = EH. Chứng minh trung điểm KD nắm trên cạnh BC.
1. BH\(⊥\)AC, MF\(⊥\)BH => MF//AC => ^ACB=^FMB (Đồng vị). Mà ^ACB=^ABC (\(\Delta\)ABC cân tại A)
=> ^ABC=^FMB hay ^DBM=^FMB.
Xét \(\Delta\)DBM và \(\Delta\)FMB có:
^BDM=^MFB=900
Cạnh BM chung => \(\Delta\)DBM=\(\Delta\)FMB (Cạnh huyền góc nhọn)
^DBM=^FMB
=> MD=BF (2 cạnh tương ứng) (1)
BH\(⊥\)AC, ME\(⊥\)AC => BH//ME hay FH//ME (F\(\in\)BH). Mà MF//AC (MF//HE) (cmt)
=> MF=HE và ME=FH (T/c đoạn chắn) => ME=FH (2)
Từ (1) và (2) => MD+ME=BF+FH => MD+ME=BH. Mà giá trị của BH không thay đổi .
=> Khi M chạy trên BC thì tổng MD+ME có giá trị không đổi. (đpcm)
(*) Xét trường hợp điểm M trùng với B hoặc C.
M trùng với B => D trùng với B, BH\(⊥\)AC, ME\(⊥\)AC => Điểm H trùng với E => MD+ME=BH
=> Giá trị của MD+ME không thay đổi.
2. Gọi giao điểm của KD với BC là điểm I. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC và cắt BC tại N.
DN//AC => ^ACB=^DNB. Mà ^ACB=^ABC => ^ABC=^DNB hay ^DBN=^DNB => \(\Delta\)BDN cân tại D
=> DB=DN. \(\Delta\)DBM=\(\Delta\)FMB (cmt) => DB=FM (2 cạnh tương ứng) => DN=FM.
Mà FM=HE (cmt) và HE=KC (Theo đề) => DN=KC (T/C bắc cầu)
DN//AC => ĐN//KC => ^NDI=^CKI và ^DNI=^KCI (So le trong)
Xét \(\Delta\)DIN và \(\Delta\)KIC có:
^NDI=^CKI
DN=KC => \(\Delta\)DIN=\(\Delta\)KIC (g.c.g)
^DNI=^KCI
=> ID=IK => I là trung điểm của KD => Trung điểm của KD nằm trên cạnh BC (đpcm)