Cho a,b >0 và a+b= 1. Chứng minh : S = \(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab\ge7\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
A
0
29 tháng 7 2017
a/ \(\frac{4bc-a^2}{bc+2a^2}.\frac{4ab-c^2}{ab+2c^2}.\frac{4ac-b^2}{ac+2b^2}\)
\(=\frac{4bc-\left(b+c\right)^2}{bc+2\left(b+c\right)^2}.\frac{4\left(-b-c\right)b-c^2}{\left(-b-c\right)b+2c^2}.\frac{4\left(-b-c\right)c-b^2}{\left(-b-c\right)c+2b^2}\)
\(=\frac{-\left(b-c\right)^2}{\left(c+2b\right)\left(b+2c\right)}.\frac{-\left(c+2b\right)^2}{-\left(b-c\right)\left(b+2c\right)}.\frac{-\left(b+2c\right)^2}{\left(b-c\right)\left(c+2b\right)}=1\)
8 tháng 11 2017
Có : (a-b)^2>=0
<=>a^2+b^2>=2ab (2)
<=>a^2+b^2+2ab>=4ab
<=>(a+b)^2>=4ab (1) hay 4ab<=(a+b)^2 (3)
Với a,b > 0 thì chia hai vế (1) cho ab.(a+b) ta được : a+b/ab >= 4/a+b <=> 1/a + 1/b >= 4/a+b (4)
Áp dụng bđt (2) ; (3) và (4) thì VT = (4/a^2+b^2 + 1/2ab) + (4ab+1/4ab)+1/4ab
>= 4/(a^2+b^2+2ab) + 2\(\sqrt{\frac{4ab.1}{4ab}}\)+ \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\)
= 4/(a+b)^2 + 2 + 1/(a+b)^2 >= 4/1 + 2 + 1/1 = 7 => ĐPCM
Dấu "=" xảy ra <=> a=b ; a+b=1 <=> a=b=1/2
TK
4
20 tháng 9 2020
BĐT cần chứng minh tương đương với
\(\left(a+b\right)\left(1+ab\right)\ge4ab\)
Thật vậy
Áp dụng bđt AM-GM ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(1+ab\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân từng vế 2 bđt trên => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c>0
ko biết mới học lớp 6 thui à
\(S=\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{ab}+4ab=\left(\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{1}{2ab}\right)+\left(\frac{1}{4ab}+4ab\right)+\frac{1}{4ab}\)
\(\ge\frac{4}{a^2+b^2+2ab}+2.\sqrt{\frac{4ab}{4ab}}+\frac{1}{\left(a+b\right)^2}=4+2+1=7\)