Cho ba số x, y, z>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{2}{y+\sqrt{zx}}+\frac{2}{z+\sqrt{xy}}\le\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{xyz}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 3 2020
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(a^3;b^3;c^3\right)\Rightarrow abc=1\)
\(VT=\sum\frac{\sqrt{1+a^6+b^6}}{a^3b^3}\ge\sum\frac{\sqrt{3\sqrt[3]{a^6b^6}}}{a^3b^3}=\sqrt{3}\left(\frac{1}{a^2b^2}+\frac{1}{b^2c^2}+\frac{1}{c^2a^2}\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2.b^2c^2.c^2a^2}}=3\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\) hay \(x=y=z=1\)
11 tháng 7 2020
Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(\sqrt{x},\sqrt{y},\sqrt{z}\right)\).
Xét 4 số m, n, p, q. Ta sẽ chứng minh \(\left(m+n+p+q\right)^2\le4\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\) (*)
Thật vậy:
(*) \(\Leftrightarrow2\left(mn+np+pq+qm+mp+nq\right)\le3\left(m^2+n^2+p^2+q^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-n\right)^2+\left(n-p\right)^2+\left(p-q\right)^2+\left(q-m\right)^2+\left(m-p\right)^2+\left(n-q\right)^2\ge0\) (luôn đúng).
Từ đó: \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\right)^2=\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}+\sqrt{z}\right)^2\le4\left(x+y+z+z\right)=4\left(x+y+2z\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}\le2\sqrt{x+y+2z}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}=\frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{x+y+2z}}\le\frac{2\sqrt{x}\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\sqrt{z}}=\frac{2ab}{a+b+2c}\le\frac{1}{2}ab\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}\le\frac{1}{2}ab\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)
Tương tự, ta có:
\(\sum\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}\le\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)=\frac{1}{2}\sum\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{c+a}\right)=\frac{1}{2}\sum a=\frac{1}{2}\)
29 tháng 2 2020
BĐT <=> \(\sqrt{\frac{x+yz}{xyz}}+\sqrt{\frac{y+xz}{xyz}}+\sqrt{\frac{z+xy}{xyz}}\ge1+\sqrt{\frac{1}{xy}}+\sqrt{\frac{1}{yz}}+\sqrt{\frac{1}{xz}}\)
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\)
Khi đó \(a+b+c=1\)
BĐT <=>\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ac}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)
Ta có \(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\ge\sqrt{\left(a+\sqrt{bc}\right)^2}=a+\sqrt{bc}\)
Khi đó \(VT\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=VP\)(ĐPCM)
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=3
1 tháng 3 2020
BĐT cho tương đương với
\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)
Với \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z};a+b+c=1\)
Ta có:
\(\sqrt{a+bc}=\sqrt{a\left(a+b+c\right)+bc}\)
\(=\sqrt{a^2+a\left(b+c\right)+bc}\ge\sqrt{a^2+2a\sqrt{bc}+bc}=a+\sqrt{bc}\)
Tương tự
\(\sqrt{b+ca}\ge b+\sqrt{ca};\sqrt{c+ab}\ge c+\sqrt{ab}\)
Từ đó ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=3
12 tháng 11 2018
\(A=\frac{1}{\sqrt{x^2-xy+y^2}}+\frac{1}{\sqrt{y^2-yz+z^2}}+\frac{1}{\sqrt{z^2-zx+x^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x-y\right)^2+\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y-z\right)^2+\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z-x\right)^2+\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{2}\left(z^2+x^2\right)}}\)
\(\le\frac{2}{x+y}+\frac{2}{y+z}+\frac{2}{z+x}\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
T
20 tháng 10 2020
1111111111111111111
\(VT=\Sigma\frac{xy+yz+zx}{xy}=3+\Sigma\frac{z\left(x+y\right)}{xy}\)
Đến đây để ý \(\frac{1}{2}\left[\frac{z\left(x+y\right)}{xy}+\frac{y\left(z+x\right)}{zx}\right]\ge\sqrt{\frac{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}{x^2}}\left(\text{AM - GM}\right)\)
Là xong.