Question

[Huyen Tạ]

Tìm tất cả cặp số nguyên dương (x, y) thoả mãn : \(2^x\)+ \(5^y\) là số chính phương

Answer 1

[Trần Quốc Đạt]

(Lời giải có thể hơi khó hiểu một chút)

Đề bài yêu cầu ta giải pt nghiệm nguyên \(2^x+5^y=n^2\)

Ta xét modulo 5. Rõ ràng \(n^2=0,1,4\left(mod5\right)\) nên \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\)

\(2^1=2\left(mod5\right)\), \(2^2=4\left(mod5\right)\), \(2^3=3\left(mod5\right)\), \(2^4=1\left(mod5\right)\) và sau đó quay vòng lại.

Từ đó ta thấy số dư của \(2^n\) khi chia cho 5 lặp lại theo chu kì 4 đơn vị.

Đồng thời, để \(2^x=0,1,4\left(mod5\right)\) thì \(x=0,2\left(mod4\right)\) hay \(x\) chẵn.

Đặt \(x=2k\). Pt thành \(4^k+5^y=n^2\)

-----

Ta chuyển sang xét modulo 3.

Do \(4^k=1\left(mod3\right)\) và \(n^2=0,1\left(mod3\right)\) và \(5^y=\left(-1\right)^y\left(mod3\right)\) nên \(y\) lẻ.

(Chỗ này mình ghi tắt. Bạn thử suy luận xem tại sao \(y\) chẵn không được nhé).

------

Trong pt cần giải ta biến đổi thành: \(5^y=n^2-4^k=\left(n-2^k\right)\left(n+2^k\right)\).

Vế trái chỉ gồm tích các số 5, do đó ta có: \(\hept{\begin{cases}n-2^k=5^b\\n+2^k=5^a\end{cases}}\) và \(b< a,a+b=y\).

Lấy hai vế trừ nhau ta có: \(2^{k+1}=5^a-5^b=5^b\left(5^{a-b}-1\right)\).

Vế trái không chia hết cho 5, nếu \(b\ge1\) thì vế phải sẽ chia hết cho 5 nên không được.

Vậy \(b=0,a=y\) và ta có \(2^{k+1}=5^y-1\).

-----

Ta viết \(5^y-1=\left(5-1\right)\left(5^{y-1}+5^{y-2}+...+5+1\right)\).

Để ý thấy, từ \(5^{y-1}\) tới \(5^0\) có \(y\) số lẻ, tức là tổng của chúng lẻ.

Chứng tỏ tổng này không là lũy thừa của 2, trừ trường hợp tổng đó là 1.

Tức là \(y=1\). Từ việc \(5^y-1=2^{k+1}\) suy ra \(k=1,x=2\).

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\) là nghiệm duy nhất của pt.