Question

[le viet anh]

tìm p là số nguyên tố sao cho 1+p+p²+p³+p⁴ là số chính phương ?

Answer 1

[Đinh Tuấn Việt]

Giả sử p^4+p^3+p^2+p+1 = n^2 
Ta có; 
+) 4n^2 ≥ 4p^4 + 4p^3 + 4p^2 + 4p+ 4 ≥ 4p^4+ 4p^3 + p^2 = ( 2p^2 + p )^2 [**] 
+) 4n^2 ≤ 4p^4 + 4p^3 + 4p^2 + 4p + 4 + 5p^2 = ( 2p^2 + p + 2 )^2 [***] 
Từ [**] và [***], suy ra; 
4n^2 = ( 2p^2 + p + 1 )^2 
Suy ra; 2n = 2p^2 + p + 1 
Bình phương hai vế của đẳng thức này và so sánh với n^2, ta suy ra; 
p^2 - 2p - 3 = 0 
\(\Leftrightarrow\) ( p + 1 )( p - 3 ) = 0 
Vì p là số nguyên tố nên phương trình trên có nghiệm p = 3 thỏa mãn. 
Vậy số nguyên tố cần tìm là 3.