Question

[Bùi Minh Anh]

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho : n²⁰¹⁵ + n + 1 là một số nguyên tố.

Answer 1

[zZz Cool Kid_new zZz]

Xét n=1 thì biểu thức A = 3

Xét n>1:

Ta có: \(A=n^{2015}+n+1\)

\(=\left(n^{2015}-n^2\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^{2013}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Dễ nhận ra \(n^{2013}-1⋮n^3-1\Rightarrow n^{2013}-1=k\left(n^3-1\right)=k\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow n^2\left(n^{2013}-1\right)=k\left(n-1\right)n^2\left(n^2+n+1\right)=k'\left(n^2+n+1\right)\)

\(\Rightarrow A=k'\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)=\left(n^2+n+1\right)\left(k'+1\right)\)là hợp số

Vậy n=1