Cho tam giác $ABC$ có hai đường trung tuyến $BD$, $CE$ cắt nhau tại $G$. Trên tia đối của tia $DB$ lấy điểm $M$ sao cho $DM=DG$. Trên tia đối của tia $EG$ lấy điểm $N$ sao cho $EN=EG$. Chứng minh rằng:
a) $BG=GM$; $CG=GN$.
b) $MN=BC$ và $MN$ // $BC$.
a) Ta có DM=DG \Rightarrow GM=2 GDDM=DG⇒GM=2GD.
Ta lại có GG là giao điểm của BDBD và CE \Rightarrow GCE⇒G là trọng tâm của tam giác ABCABC
\Rightarrow BG=2 GD⇒BG=2GD.
Suy ra BG=GMBG=GM.
Chứng minh tương tự ta được CG=GNCG=GN.
b) Xét tam giác GMNGMN và tam giác GBCGBC có GM=GBGM=GB (chứng minh trên);
\widehat{MGN}=\widehat{BGC}MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);
GN=GCGN=GC (chứng minh trên).
Do đó \triangle GMN=\triangle GBC△GMN=△GBC (c.g.c)
\Rightarrow MN=BC⇒MN=BC (hai cạnh tương ứng).
Theo chứng minh trên \triangle GMN=\triangle GBC \Rightarrow \widehat{NMG}=\widehat{CBG}△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).
Mà \widehat{NMG}NMG và \widehat{CBG}CBG ờ vị trí so le trong nên MNMN // BCBC.
a) Ta có ��=��⇒��=2��DM=DG⇒GM=2GD.
Ta lại có �G là giao điểm của ��BD và ��⇒�CE⇒G là trọng tâm của tam giác ���ABC
⇒��=2��⇒BG=2GD.
Suy ra ��=��BG=GM.
Chứng minh tương tự ta được ��=��CG=GN.
b) Xét tam giác ���GMN và tam giác ���GBC có ��=��GM=GB (chứng minh trên);
���^=���^MGN=BGC (hai góc đối đỉnh);
��=��GN=GC (chứng minh trên).
Do đó △���=△���△GMN=△GBC (c.g.c)
⇒��=��⇒MN=BC (hai cạnh tương ứng).
Theo chứng minh trên △���=△���⇒���^=���^△GMN=△GBC⇒NMG=CBG (hai góc tương ứng).
Mà ���^NMG và ���^CBG ờ vị trí so le trong nên ��MN // ��BC.