Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn a=b+c. Chứng minh \(\sqrt[4]{a^3}< \sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 12 2015
hả?
bài để thi hok kì I đó hả? đúng khó *_*
mk sẽ ghi lại để sau này mk hok
3 tháng 1 2019
Áp dụng \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge\sqrt{a+b}\) Dấu "=" xảy ra khi a hoặc b bằng 0 nhưng bài này a, b dương nên dấu "=" ko xảy ra nhé
\(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}>\sqrt{\sqrt{a^3}+\sqrt{b^3}}>\sqrt[4]{a^3+b^3}=\sqrt[4]{\left(a+b\right)^3+3ab\left(a+b\right)}\)
\(=\sqrt[4]{c^3+3abc}>\sqrt[4]{c^3}\) ( đpcm )
PN
19 tháng 7 2016
Ta có:
\(a+b+c=4\)
\(\Rightarrow\) \(a< 4\)
\(\Rightarrow\) \(a^4< 4a^3\) (do \(a>0\) nên \(a^3>0\) )
Do đó, \(a^3>\frac{a^4}{4}\) hay nói cách khác, \(\sqrt[4]{a^3}>\sqrt[4]{\frac{a^4}{4}}=\frac{a}{\sqrt[4]{4}}\) \(\left(1\right)\)
Từ đó, ta cũng tương tự thiết lập được: \(\sqrt[4]{b^3}>\frac{b}{\sqrt[4]{4}}\) \(\left(2\right)\) và \(\sqrt[4]{c^3}>\frac{c}{\sqrt[4]{4}}\) \(\left(3\right)\)
Cộng từng vế các bđt \(\left(1\right);\) \(\left(2\right);\) và \(\left(3\right)\) ta có:
\(\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{c^3}>\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
TN
24 tháng 5 2017
Ta co:
\(\sqrt[4]{4}VT=\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{a^3}+\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{b^3}+\sqrt[4]{4}\sqrt[4]{c^3}\)
\(=\sqrt[4]{4a^3}+\sqrt[4]{4b^3}+\sqrt[4]{4c^3}\)
\(=\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)a^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)b^3}+\sqrt[4]{\left(a+b+c\right)c^3}\)
\(>\sqrt[4]{a^4}+\sqrt[4]{b^4}+\sqrt[4]{c^4}=a+b+c\)
\(\Rightarrow VT>\frac{a+b+c}{\sqrt[4]{4}}=\frac{4}{\sqrt[4]{4}}=2\sqrt{2}\)
4 tháng 6 2019
Chịu khó tìm kiếm trước khi hỏi nha anh/chị: Câu hỏi của san nguyễn - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
HQ
15 tháng 2 2021
Bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\) \(\left(\forall a,b,c>0\right)\)
chứng minh bổ đề: \(\Sigma_{cyc}\left(\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right)+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\ge3\sqrt[3]{\left(\Pi_{cyc}\dfrac{a^3}{a^3+b^3+c^3}\right).\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}}\)
hoán vị theo a,b,c
ta được: \(3\ge\dfrac{3\left(a+b+c\right)}{\sqrt[3]{9.\left(a^3+b^3+c^3\right)}}\)
mũ 3 hai vế ta có được bất đẳng thức bổ đề: \(a^3+b^3+c^3\ge\dfrac{1}{9}\left(a+b+c\right)^3\)
Áp dụng bất C-S:
\(\sqrt{a^3+3b}+\sqrt{b^3+3c}+\sqrt{c^3+3a}\ge\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3+3a+3b+3c\right)}\)
\(\ge\sqrt{3.\left[3+3\left(a+b+c\right)\right]}=\sqrt{36}=6\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1