Question

[Ngan_vu]

Tìm 3 số nguyên tố khác nhau sao cho:  abc<ab+bc+ca

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1\)

Do vai trò của a;b;c là như nhau, không mất tính tổng quát giả sử \(a< b< c\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}>\dfrac{1}{b}>\dfrac{1}{c}\Rightarrow\dfrac{3}{a}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1\)

\(\Rightarrow a< 3\Rightarrow a=2\)

Khi đó: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>1\Rightarrow\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{2}{b}>\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}>\dfrac{1}{2}\Rightarrow b< 4\Rightarrow b=3\) (do \(b>a\Rightarrow b>2\))

Tiếp tục thay vào: \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{c}>1\Rightarrow\dfrac{1}{c}>\dfrac{1}{6}\Rightarrow c< 6\)

Mà \(c>b\Rightarrow c>3\Rightarrow3< c< 6\Rightarrow c=5\)

Vậy \(\left(a;b;c\right)=\left(2;3;5\right)\) và các hoán vị