Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đường thẳng AB lấy điểm M(M khác O).CM cắt (O)tại N.Đường thẳng vuông góc AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn tại P.
1) CMR tứ giác OMNP nội tiếp
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc OMP=góc ONP=90 độ
=>OMNP nội tiếp
b: MP//OC(cùng vuông góc AB)
=>góc MCO=góc NMP
góc NMP=góc MNO
=>góc MNO=góc MCO
=>góc MNO=góc ODN
=>CM//OP
Xét tứ giác CMPO có
CM//PO
CO//PM
=>CMPO là hình bình hành
c: Xét ΔCOM vuông tại O và ΔCND vuông tại N có
góc OCM chung
=>ΔCOM đồng dạng với ΔCND
=>CO/CN=CM/CD
=>CN*CM=CO*CD=2R^2 ko phụ thuộc vào vị trí của M
1. Ta có ÐOMP = 900 ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN
=> ÐOPM = ÐOCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC
=> => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
.
Vì NP là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow PM\perp ON\Rightarrow\widehat{ONP}=90^0\)
Mà \(\widehat{OMP}=90^0\Rightarrow\widehat{OMP}=\widehat{ONP}\)
\(\Rightarrow\) ◊OMNP nội tiếp(1)
\(\Rightarrow O,M,N,P\) cùng thuộc một đường tròn
Do CD là đường kính của (O) \(\Rightarrow DN\perp CN\Rightarrow\widehat{COM}=\widehat{CND}=90^0\)
\(\Rightarrow\text{◊ }\)OMND nội tiếp
\(\Rightarrow O,M,N,D\)cùng thuộc một đường tròn (2)
\(\Rightarrow\widehat{MPD}=180^0-\widehat{DOM}=180^0-90^0=90^0\)
\(\Rightarrow MP\perp DP\Rightarrow OD//MP\)
\(\Rightarrow OMPD\) là hình bình hành
\(\Rightarrow OD=MP\Rightarrow MP=R\)
\(\Rightarrow MP=OC\)Vì MP//OC \(\left(\perp AB\right)\) \(\Rightarrow CMPO\) là hình bình hành
1: góc OMP=góc ONP=90 độ
=>OMNP nội tiếp