1)Cho a,b>0
Cm: \(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\)a
2)Cho (a,240)=1. Cm: a^4-1 chia hết cho 240
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(A=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{6+2\sqrt{5}}}}{\sqrt{6-2\sqrt{5}}+2}=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}}}{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}+2}\)
\(=\frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}-4\sqrt{5}-4}}{\sqrt{5}-1+2}=\frac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}+1}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)
b. Thôi nhìn biến đổi khủng thế này thì nhường bạn :))
2.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số a;b;c luôn có 2 số cùng tính chẵn lẻ
\(\Rightarrow\) có ít nhất một trong 3 hiệu \(a-b\) ; \(a-c\) ; \(b-c\) là chẵn
\(\Rightarrow a+b+c\) chẵn
- Nếu a;b;c cùng số dư khi chia hết cho 3 thì \(a-b;a-c;b-c\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)⋮27\Rightarrow a+b+c⋮27\)
Mà 27 và 2 nguyên tố cùng nhau nên \(a+b+c⋮\left(27.2=54\right)\)
- Nếu a;b;c chia 3 ra 3 loại số dư khác nhau là 0;1;2 \(\Rightarrow a+b+c⋮3\)
Đồng thời cả \(a-b;b-c;c-a\) đều ko chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) Không thỏa mãn \(\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\)
- Nếu trong 3 số a;b;c có 2 số cùng số dư khi chia hết cho 3 và 1 số chia 3 khác số dư
\(\Rightarrow\) \(a+b+c⋮̸3\)
Trong khi đó ít nhất 1 trong 3 hiệu \(a-b;b-c;c-a\) sẽ có 1 giá trị chia hết cho 3 (do có 2 số cùng số dư khi chia 3)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)=a+b+c\) ko thỏa mãn
Vậy \(a+b+c⋮54\)
2b
Câu này đề có sai ko bạn? Trong căn là \(2\sqrt{x+4}\) thì còn có lý
Pt như nguyên mẫu được biến đổi thành:
\(\left(x^2+6x+9\right)+\left(x-4-2\sqrt{x-4}+1\right)+8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2+\left(\sqrt{x-4}-1\right)^2+8=0\)
Hiển nhiên vô nghiệm
3.
\(\frac{a}{a+1}\ge1-\frac{b}{b+1}+1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Tương tự: \(\frac{b}{b+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\) ; \(\frac{c}{c+1}\ge\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)
Nhân vế với vế: \(\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)
\(\Rightarrow abc\ge8\)
3, \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}=\sqrt{\frac{a^2}{a\left(b+c\right)}}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\frac{a}{b+c}}}=\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(\sqrt{\frac{a\left(b+c\right)}{a^2}}\le\frac{a+b+c}{2a}\Rightarrow\sqrt{\frac{a}{b+c}}\ge\frac{2a}{a+b+c}\left(1\right).\)
Chứng minh tương tự ta có : \(\sqrt{\frac{b}{a+c}}\ge\frac{2b}{a+b+c}\left(2\right).\); \(\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2c}{a+b+c}\left(3\right).\)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
\(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2.\)( đpcm )
dấu " = " xẩy ra khi a = b = c > 0
Làm tạm một câu rồi đi chơi, lát làm cho.
4)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1}=9\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
3.
\(5a^2+2ab+2b^2=\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(4a^2+4ab+b^2\right)\)
\(=\left(a-b\right)^2+\left(2a+b\right)^2\ge\left(2a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}\ge2a+b\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{5a^2+2ab+2b^2}}\le\frac{1}{2a+b}\)
Tương tự \(\frac{1}{\sqrt{5b^2+2bc+2c^2}}\le\frac{1}{2b+c};\frac{1}{\sqrt{5c^2+2ca+2a^2}}\le\frac{1}{2c+a}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}\)
\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\)
\(=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le\frac{1}{3}.\sqrt{3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\Rightarrow MaxP=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)
a/
\(a.1.\sqrt{b-1}+b.1.\sqrt{a-1}\le a\left(\frac{1+b-1}{2}\right)+b\left(\frac{1+a-1}{2}\right)=ab\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)
b/ \(P=a+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{\left(a+1\right)}{8}+\frac{a+1}{8}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}+\frac{3a}{4}-\frac{1}{4}\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+1\right)^2}{8^2.\left(a+1\right)^2}}+\frac{3.1}{4}-\frac{1}{4}=\frac{5}{4}\)
Câu b đề bài ko đúng (nếu như điều kiện thực sự là \(a\ge1\))
Bài 1: \(a+\frac{1}{b\left(a-b\right)}=\left(a-b\right)+b+\frac{1}{b\left(a-b\right)}\)
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta thu được đpcm (mình làm ở đâu đó rồi mà:)
Dấu "=" xảy ra khi a =2; b =1 (tự giải ra)
Bài 2: Thêm đk a,b,c >0.
Theo BĐT Cauchy \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{c^2}}=\frac{2a}{c}\). Tương tự với hai cặp còn lại và cộng theo vế ròi 6chia cho 2 hai có đpcm.
Bài 3: Nó sao sao ấy ta?