Cho tam giác ABC có O là điểm nằm trong trong tam giác.
CMR: AO+BO+CO<AB+BC+CA.
- Ai giúp em được không? Em không biết làm bài này (em nói thật),
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Có 16 hình tam giác: FOB; FOA; AOE; EOC; COD; DOB; ADB; ADC; AOB; AOC; BOC; EBC; FCB; ABC; EAB; FCA.
Căng đấy, làm hơi lâu =))
- Gọi giao điểm của OA và BC, OC và AB, OB và AC lần lượt là D, E, F.
- Xét các tam giác:
+) △AOE có \(OA< OE+AE\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho OC ta được: \(OA+OC< OE+AE+OC\)
\(\Rightarrow OA+OC< AE+CE\) (Do OE + OC = AE)
⇒ △CEB có \(CE< BE+BC\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho AE ta được: \(AE+CE< BE+BC+AE\)
\(\Rightarrow AE+CE< AB+AC\) (Do BE + AE = AB) (1)
+) △BOD có \(OB< OD+BD\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho OA ta được: \(OB+OA< OD+BD+OA\)
\(\Rightarrow OB+OA< BD+AD\) (Do OA + OD = AD)
⇒ △ADC có \(AD< AC+DC\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho BD ta được: \(BD+AD< AC+DC+BD\)
\(\Rightarrow BD+AD< AB+BC\) (Do DC + BD = BC) (2)
+) △AOF có \(OA< AF+OF\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho OB ta được: \(OA+OB< AF+OF+OB\)
\(\Rightarrow OF+OE< AF+BF\) (Do OF + OB = BF)
⇒ △BCF có \(BF< BC+FC\) (Bất đẳng thức tam giác). Cộng 2 vế cho AF ta được: \(AF+BF< BC+FC+AF\)
\(\Rightarrow AF+BF< BC+AC\) (Do AF + FC = AC) (3)
- Mặt khác:
\(OA+OC+OB+OA+OC+OB< AB+AC+AB+BC+BC+AC\)
\(\Rightarrow2OA+2OB+2OC< 2AB+2AC+2BC\)
\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)
\(\Rightarrow OA+OB+OC< AB+AC+BC\) (đpcm).
:) Dài vậy. Để xem thử.