Question

[Thi Chinh Dinh]

Chứng minh rằng 10ⁿ – 9n – 1 chia hết cho 27 với mọi n nguyên dương. 

Answer 1

[Bảo Châu Ngô]

. Mình dùng quy nạp nha bạn ^^  10ⁿ – 9n – 1 chia hết cho 27 (*)

. Đặt \(A=\)10ⁿ  - 9n -1 

. Với n = 0, ta có: A = 10⁰-9.0-1=0 chia hết cho 27

. Giả sử với n=k \(\left(k\varepsilon N\right)\) thì mệnh đề (*) đúng, tức là 10^k-9k-1 chia hết cho 27

. Với n=k+1, ta có: A=10^(k+1)-9(k+1)-1 = 10^k.10-9k-9-1 = 10^k-9k-1 + 9.10^k-10

. Ta thấy 10^k-9k-1 chia hết cho 27(cmt) để A chia hết cho 27 thì ta cần cm 9.10^k-10 chia hết cho 27

. Xét 9.10^k-10, ta có: 9.10^k-10 = 90(10^k-1-1) = 90.(10-1).M ( M là 1 đa thức)

= 90.9.M chia hết cho 27  

. Vậy A chia hết cho 27 =))