Cho \(a+b+c=0\). Chứng minh \(a^3+b^3-c^3=3abc\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HN
0
18 tháng 2 2020
Ta có \(a^3+b^3+c^3-3abc=a^3+b^3+c^3-abc-abc-abc+ac^2+a^2c-ac^2-a^2c+ab^2+a^2b-ab^2-a^2b+b^2c+bc^2-b^2c-bc^2=a^2\left(a+b+c\right)+b^2\left(a+b+c\right)+c^2\left(a+b+c\right)-ab\left(a+b+c\right)-bc\left(a+b+c\right)-ac\left(a+b+c\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\)=0 vạy a+b+c=0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}=3(1)$
Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:
$a^3+a\geq 2a^2$
$b^3+b\geq 2b^2$
$c^3+c\geq 2c^2$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)$
Lại có:
$a^2+1\geq 2a$
$b^2+1\geq 2b$
$c^2+1\geq 2c$
$\Rightarrow a^2+b^2+c^2\geq 2(a+b+c)-3=(a+b+c)+(a+b+c)-3$
$\geq a+b+c+3-3=a+b+c(2)$
$\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq 2(a^2+b^2+c^2)-(a+b+c)\geq a^2+b^2+c^2(3)$
Từ $(1); (2); (3)$ ta có đpcm.
NT
0
TV
23 tháng 7 2018
ta có \(a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+c\left(a^2-ab+b^2\right)=\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a+b+c\right)\)
mà a+b+c=0
\(\Rightarrow a^3+b^3+a^2c+b^2c-abc=\left(a^2-ab+b^2\right).0=0\left(đpcm\right)\)
ND
13 tháng 8 2018
Ta có: \(x^3+y^{ 3}=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=\left(x+y\right)xy,\forall x,y\ge0\)
Áp dụng:
\(\sum_{cyc}\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\sum_{cyc}\dfrac{1}{\left(a+b\right)ab+abc}=\sum_{cyc}\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{abc}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
ND
25 tháng 7 2018
Ta có: \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=\left(x+y\right)xy\)( \(\forall x,y\ge0\) )
Áp dụng: \(\sum\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{\left(a+b\right)ab+abc}=\sum\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{abc}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
HC
24 tháng 1 2018
ta chứng minh đc \(x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
thay vào + biến đổi ta có đpcm
đẳng thúc xảy ra khi a=b=c
lol!!!
11 tháng 4 2023
3: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b>=2\sqrt{ab}\\b+c>=2\sqrt{bc}\\a+c>=2\sqrt{ac}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)>=8abc\)
1: =>(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)>=0
=>(a+b)(a^2-2ab+b^2)>=0
=>(a+b)(a-b)^2>=0(luôn đúng)
30 tháng 12 2017
Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\)\(\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^3+b^3+abc}\le\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\dfrac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\dfrac{1}{ac\left(a+b+c\right)}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
Sửa đề: a^3+b^3+c^3=3abc
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)=0\)
=>ĐPCM