Question

[Dương]

Cho góc vuông xAy. Trên tia Ax, lấy điểm B sao cho AB = 2R ( với R là hằng số dương ). Gọi M là 11 điểm thay đổi trên tia Ay ( M khác A ). Kẻ phân giác góc ABM cắt Ay tại E. Đường tròn tâm I đường kính AB cắt BM và BE lần lượt tại C và D ( C và D khác B).

a, CM : \(\widehat{CAD}=\widehat{ABD}\)

b, Gọi K là giao điểm của các đường thẳng ID và AM. Chứng minh \(CK=\frac{1}{2}AM\)

c, Tính giá trị lớn nhất của chu vi tam giác ABC theo R 

Answer 1

[Kiệt Nguyễn]

Link ảnh: file:///C:/Users/THAOCAT/Pictures/Screenshots/Screenshot%20(1222).png

a) Gọi U là giao điểm của AD và BM

Dễ có: \(\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=90^0\)(các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(\Delta ACU\)vuông tại C

và \(\Delta ABU\)cân tại B (có BD vừa là đường cao vừa là phân giác) => D là trung điểm của AU

\(\Delta ACU\)vuông tại C có CD là trung tuyến (cmt) nên CD = AD => \(\widehat{CAD}=\widehat{ABD}\)(góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)

b) \(\Delta ABU\)có ID là đường trung bình nên ID // BU hay IK // BM

\(\Delta ABM\)có I là trung điểm của AB, IK // BM nên K là trung điểm của AM

\(\Delta ACM\)vuông tại C có CK là trung tuyến nên \(CK=\frac{1}{2}AM\)(đpcm)

c) Ta có: \(AC+BC\le\sqrt{2\left(AC^2+BC^2\right)}=\sqrt{2AB^2}=2\sqrt{2}R\)

\(\Rightarrow AB+AC+BC\le\left(2\sqrt{2}+2\right)R\)

Vậy chu vi tam giác ABC lớn nhất bằng \(\left(2\sqrt{2}+2\right)R\)đạt được khi AC = BC hay AB = AM = 2R