Question

[Nguyen Thi Bich Huong]

Cho \(a,b,c\in R^+\) thỏa mãn \(a^3+b^3+c^3-3abc=1\)

Tìm min \(P=a^2+b^2+c^2\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$a^3+b^3+c^3-3abc=1$

$\Leftrightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=1$

Đặt $a+b+c=x; a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=y$ với $x,y>0$

Khi đó, đề bài trở thành: Cho $x,y>0$ thỏa mãn: $xy=1$

Tìm min $P=\frac{x^2+2y}{3}$

Áp dụng BĐT AM-GM: 

$P=\frac{x^2+y+y}{3}\geq \frac{3\sqrt[3]{x^2y^2}}{3}=\frac{3}{3}=1$

Vậy $P_{\min}=1$